Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Với $∀k ∈ N$ ta có:

$\frac{\sqrt[]{k + 1} - \sqrt[]{k}}{k} = \frac{(k + 1) - k}{k(\sqrt[]{k + 1} + \sqrt[]{k})} $

$ = \frac{1}{k(\sqrt[]{k + 1} + \sqrt[]{k})} > \frac{1}{(k + 1)(\sqrt[]{k + 1} + \sqrt[]{k + 1})} = \frac{1}{2.k\sqrt[]{k +1}}$

Do đó :

$ \frac{\sqrt[]{2} - \sqrt[]{1}}{1} > \frac{1}{2.1\sqrt[]{2}} $

$ \frac{\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}}{2} > \frac{1}{2.2\sqrt[]{3}} $

$ \frac{\sqrt[]{4} - \sqrt[]{3}}{3} > \frac{1}{2.3\sqrt[]{4}} $

$............................$

$\frac{\sqrt[]{n + 1} - \sqrt[]{n}}{n} > \frac{1}{2.n\sqrt[]{n + 1}}$

Mặt khác:

$\frac{1}{k\sqrt[]{k + 1}} = \frac{\sqrt[]{k + 1}}{k(k + 1)} = \frac{\sqrt[]{k + 1}}{k} - \frac{\sqrt[]{k + 1}}{k + 1}$

Do đó :

$\frac{1}{1\sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2}}{1} - \frac{\sqrt[]{2}}{2} (1)$

$\frac{1}{2\sqrt[]{3}} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{3} (2)$

$\frac{1}{3\sqrt[]{4}} = \frac{\sqrt[]{4}}{3} - \frac{\sqrt[]{4}}{4} (3)$

$.............................$

$\frac{1}{n\sqrt[]{n + 1}} = \frac{\sqrt[]{n + 1}}{n} - \frac{\sqrt[]{n + 1}}{n + 1} (n)$

Gọi $S$ là tổng vế trái; Cộng $(1) + (2) + (3) +...+ (n)$ lại :

$ S = \frac{1}{1\sqrt[]{2}} +\frac{1}{2\sqrt[]{3}} +  \frac{1}{3\sqrt[]{4}} + ...+ \frac{1}{n\sqrt[]{n + 1}} $

$ = 1 + \frac{\sqrt[]{2} - \sqrt[]{1}}{1} + \frac{\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}}{2} + \frac{\sqrt[]{4} - \sqrt[]{3}}{3} + \frac{\sqrt[]{5} - \sqrt[]{4}}{4}  +...+ \frac{\sqrt[]{n + 1} - \sqrt[]{n}}{n} - \frac{\sqrt[]{n + 1}}{n + 1}$

$ > 1 + \frac{1}{2}(\frac{1}{1\sqrt[]{2}} + \frac{1}{2.\sqrt[]{3}} + \frac{1}{3\sqrt[]{4}} + ...+ \frac{1}{n\sqrt[]{n + 1}}) - \frac{1}{\sqrt[]{n + 1}} = 1 + \frac{1}{2}S - \frac{1}{\sqrt[]{n + 1}}$ 

$ ⇒ S - \frac{1}{2}S > 1 - \frac{1}{\sqrt[]{n + 1}} ⇔ S > 2(1 - \frac{1}{\sqrt[]{n + 1}}) (đpcm)$