a. Xét ΔOAE và ΔOCA :
∠OAC chung
∠OAE = ∠OCA ( cùng nhìn cung AB )
⇒ ΔOAE đồng dạng ΔOCA ( g.g )
⇒$\frac{OA}{OC}$ = $\frac{OE}{OA}$ ⇔ $OA^2$ = OE.OC (1)
Chứng minh tương tự ta có: ΔOEB đồng dạng ΔOBC (g.g)
⇒ $\frac{OB}{OC}$ = $\frac{OE}{OB}$ ⇔ $OB^2$ = OE.OC (2)
Từ (1) và (2) Ta có : OA = OB
- Do :
+ ΔOAE đồng dạng ΔOCA => $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{OE}{OA}$
+ ΔOEB đồng dạng ΔOBC => $\frac{BE}{BC}$ = $\frac{OE}{OB}$
=> $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{BE}{BC}$
<=> EB.CA = EA.CB
b. Xét ΔKBE và ΔKAB :
Góc BKA chung
Góc KAB = KBE ( cùng nhìn cung BE )
=> ΔKBE đồng dạng ΔKAB (g.g)
=> $\frac{KB}{KA}$ = $\frac{KE}{KB}$ <=> $KB^2$ = KA.KE (*)
Ta có:
+ Góc KOE = OCA ( do OK // AC )
+ Góc OCA = OAK
=> Góc KOE = OAK
=> ΔKOE đồng dạng ΔOAK
=> $OK^2$ = KA.KE (**)
Từ (*) và (**) => OK = KB
hay K là trung điểm OB
c. Dễ thấy ADCF, BFCH là 2 tứ giác nội tiếp
=> FDC = FAC = HBC = BEC
=> ΔCDF đồng dạng ΔCFH (g.g)
=> $\frac{CD}{CF}$ = $\frac{CF}{CH}$
=> $CF^2$ = CH.CD
