Đáp án:
`a,`
Xét `ΔABH` và `ΔACH` có :
`hat{BAH} = hat{CAH}` (giả thiết)
`AH` chung
`AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> ΔABH = ΔACH` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`-> hat{ABC} = (180^o - hat{BAC})/2 = (180^o - 30^o)/2 = 150^o/2`
`-> hat{ABC} = 75^o`
$\\$
$\\$
$b,$
Xét `ΔADH` và `ΔCDE` có :
`hat{ADH} = hat{CDE}` (2 góc đối đỉnh)
`AD = CD` (Do `D` là trung điểm của `AC`)
`DH = DE` (Do `D` là trung điểm của `HE`)
`-> ΔADH = ΔCDE` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{AHD} = hat{CED}`(2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ AH//CE$
$\\$
Xét `ΔAHC` có :
`CF` là đường trung tuyến (Do `F` là trung điểm của `AH`)
`HD` là đường trung tuyến (Do `D` là trung điểm của `AC`)
`CF` cắt `HD` tại `Q`
`-> Q` là trực tâm của `ΔAHC`
`-> HQ = 2/3 HD`
mà `HD = 1/2 HE` (Do `D` là trung điểm của `HE`)
`-> HQ = 2/3 . 1/2 HE`
`-> HQ = 1/3 HE`
$\\$
$\\$
$c,$
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`AH` là đường phân giác
`-> AH` là đường cao, `AH` là đường trung tuyến
`-> AH⊥BC`
mà $AH//CE$
`-> CE⊥BC`
Xét `ΔECH` vuông tại `C` (Do `CE⊥BC`) có :
`HE` là cạnh lớn nhất
`-> HE > CH`
`-> 2HE > 2CH`
mà `2CH = BC` (Do `AH` là đường trung tuyến) `(1)`
$\\$
Xét `ΔFHC` vuông tại `H` (Do `AH⊥BC`) có :
`CF` là cạnh lớn nhất
`-> CF > HC`
`-> 2CF > 2 HC`
mà `2HC = BC` (Do `AH` là đường trung tuyến)
`-> 2CF > BC`
`-> 4CF > 2BC` `(2)`
$\\$
Đem `(1) + (2)` vế với vế ta được :
`BC + 2BC < 2HE + 4CF`
`-> 3 BC < 2 HE + 4CF`
