Giải thích các bước giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\\
\Leftrightarrow \frac{{ab + bc + ca}}{{abc}} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\\
\Leftrightarrow \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 9abc\\
\Leftrightarrow {a^2}b + a{b^2} + abc + abc + {b^2}c + {c^2}b + c{a^2} + abc + {c^2}b \ge 9abc\\
\Leftrightarrow {a^2}b + {b^2}a + {c^2}a + {a^2}c + {b^2}c + {c^2}b \ge 6abc\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có:
\({a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + a{c^2} \ge 6.\sqrt[6]{{{a^2}b.{b^2}a.{b^2}c.c{b^2}.a{c^2}.c{a^2}}} = 6abc\)
Vậy BĐT (1) luôn đúng hay BĐT đã cho luôn đúng
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
