1) Áp dụng BĐT Svacxo ta được :
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}$
$ ≥ \dfrac{9}{2.(a+b+c)}$
Lại có : $a^2+b^2+c^2 ≥ab+bc+ca$
$⇒a^2+b^2+c^2 ≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
$⇒ (a^2+b^2+c^2).(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}) $
$≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{3}.\dfrac{9}{2.(a+b+c)} = \dfrac{3}{2}.(a+b+c) $
Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c>0$
2) Ta có :
$(a+b+c).(a^2+b^2+c^2) $
$ = a^3+b^3+c^3+ab.(a+b)+bc.(b+c)+ca.(c+a)$
Do đó ta cần chứng minh :
$2.(a^3+b^3+c^3) ≥ ab.(a+b)+bc.(b+c)+ca.(c+a)$
Thật vậy, ta xét :
$a^3+b^3 ≥ab.(a+b)$
$⇔a^3-a^2b+b^3-ab^2 ≥0$
$⇔a^2.(a-b)-b^2.(a-b) ≥0$
$⇔(a-b).(a^2-b^2) ≥0$
$⇔(a-b)^2.(a+b) ≥0$ ( Luôn đúng với $a,b,c>0 )$
Nên : $a^3+b^3 ≥ab.(a+b)$ (1)
Chứng minh tương tự ta có :
$b^3+c^3 ≥bc.(b+c)$ (2)
$c^3+a^3 ≥ca.(c+a)$ (3)
Cộn các vế cuả BĐT (1) , (2) và (3) ta được :
$2.(a^3+b^3+c^3) ≥ab(a+b)+bc.(b+c)+ca.(c+a)$
Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c$
Vậy BĐT được chứng minh !
