Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1. Ta có (x-y)² $\geq$ 0 ∀x,y ⇔ (x+y)² $\geq$ 4xy (*)
⇔$\frac{x+y}{xy}$ $\geq$ $\frac{4}{x+y}$
⇔$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ $\geq$ $\frac{4}{x+y}$ (dấu = xảy ra ⇔ x=y)
Vậy M =2(x+y)+3($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ ) $\geq$ 2(x+y) + $\frac{12}{x+y}$
Áp dụng (*) ta có:
M $\geq$ [ 2(x+y) + $\frac{2}{x+y}$ ] + $\frac{10}{x+y}$ $\geq$ 4+$\frac{10}{x+y}$ $\geq$ a + 10 =14
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left \{ {{x=y} \atop {x+y=1}} \right.$
Đáp án D đúng.
2. Do x+y = 1 ⇒ y=1-x với x,y $\geq$ 0 ⇒ $\left \{ {{x\geq0 } \atop {1-x\geq0}} \right.$ ⇒ 0 $\leq$ x$\leq$ 1
⇒ M= x³ + y³ = x³ +(1-x)³ = 3x² - 3x+1
Xét M = 3x² - 3x +1 trên [0;1]
M' = 6x - 3, M' = 0 ⇒ 6x - 3 = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$ ∈ [0;1]
M(0)=1, M(1) = 1, M($\frac{1}{2}$) = $\frac{1}{4}$
GTLN M = max { M(0), M(1), M( $\frac{1}{2}$) } = max { 1;1;$\frac{1}{4}$ } = 1
GTNN M = min { M(0), M(1), M($\frac{1}{2}$ ) } = min { 1;1;$\frac{1}{4}$ } = $\frac{1}{4}$
Vậy GTLN M = 1 khi $\left \{ {{x=0} \atop {y=1}} \right.$ hoặc $\left \{ {{x=1} \atop {y=0}} \right.$
GTNN M = $\frac{1}{4}$ khi x = y = $\frac{1}{2}$
Đáp án B đúng
