Đáp án:
$D.\, \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O$ là tâm của đáy
$\to OA = OB = OC = OD$
mà $SA = SB =SC = SD$
nên $SO\perp (ABCD)$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$+)\quad AC^2 = AB^2 + BC^2$
$\to AC =\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{4a^2 + a^2}$
$\to AC = a\sqrt5$
$\to OA =\dfrac{a\sqrt5}{2}$
$+)\quad SA^2 = OA^2 + SO^2$
$\to SO =\sqrt{SA^2 - OA^2}=\sqrt{2a^2 - \dfrac{5a^2}{4}}$
$\to SO = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Gọi $M,\ N$ lần lượt là trung điểm $AB,\ CD$
$\to ON = \dfrac12AD = \dfrac a2$ (đường trung bình)
Ta có:
$SO\perp (ABCD)\quad (cmt)$
$\to SO\perp CD$
mà $ON\perp CD$ (trung tuyến ứng với cạnh đáy của $∆COD$ cân tại $O$)
nên $CD\perp (SON)$
Trong mp$(SON)$ kẻ $OH\perp SN$
$\to CD\perp OH$
$\to OH \perp (SCD)$
$\to OH = d(O;(SCD))$
Từ $M$ kẻ $MK\perp (SCD)$
$\to MK = d(M;(SCD))$
mà $OH\perp (SCD)\quad (cmt)$
nên $MK//OH$
Lại có: $MO = ON =\dfrac12MN$
$\to MK = 2OH$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{SO^2} +\dfrac{1}{ON^2}$
$\to OH =\dfrac{SO.ON}{\sqrt{SO^2 + ON^2}}$
$\to OH =\dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac a2}{\sqrt{\dfrac{3a^2}{4} +\dfrac{a^2}{4}}}$
$\to OH = \dfrac{a\sqrt3}{4}$
$\to MK = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Mặt khác:
$AB//CD$
$\to AB//(SCD)$
$\to d(A;(SCD))= d(M;(SCD))=\dfrac{a\sqrt3}{2}$
