Đáp án+Giải thích các bước giải:
a.Xét ΔABH và ΔACH
có AB = AC (gt)
góc AHB = góc AHC = 900 (gt)
AH : chung
=>ΔABH = ΔACH (ch - cgn)
=> ∠ BAH = ∠HAC (hai góc tương ứng) (Đpcm)
=> BH = CH (hai cạnh tương ứng)
=> H là trung điểm của BC
b) Xét ΔAMH và ΔANH
có ∠ AMH = ∠ANH = 900 (gt)
AH : chung
∠ MAH = ∠NAH (Cmt)
=>ΔAMH = ΔANH (ch - gn)
=> AM = AN (hai cạnh tương ứng)
=> T/giác AMN là t/giác cân tại A
c) Gọi I là giao điểm của BC và MP
Ta có: ΔAMH = Δ ANH (Cmt)
=> MH = HN (hai cạnh tương ứng)
Mà HN = PH (gt)
=> MH = PH
Ta lại có: ∠AHM + ∠MHB = $90^{0}$ (phụ nhau)
∠AHN + ∠NHC = $90^{0}$ (phụ nhau)
Và ∠AHM = ∠AHN (vì Δ AHM = ΔAHN)
=> ∠ MHB = ∠ NHC
Mà ∠NHC = ∠ BHP
=>∠MHB = ∠ BHP
Xét ΔMHI và Δ PHI
có MH = PH (cmt)
ΔMHI = Δ IHP (cmt)
HI : chung
=> ∠MHI = Δ PHI (c.g.c)
=> MI = PI (hai cạnh tương ứng) => I là trung điểm của MP (1)
=> ∠ MIH = ∠HIP (hai góc tương ứng)
Mà ∠MIH + ∠HIP = 1800
=> 2. ∠MIH = 1800
=>∠ MIH = 1800 : 2
=> ∠MIH = 900
=> HI ⊥ MP (2)
Từ (1) và (2) suy ra HI là đường trung trực của đoạn thẳng MP
hay BC là đường trung trực của đoạc thẳng MP (Đpcm)