Đáp án:
\[2019\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow 2x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < \sin 2x \le 1\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\begin{array}{l}
y = \sin 2x + 1 + \dfrac{1}{{\sin 2x}}\\
= \left( {\sin 2x + \dfrac{1}{{\sin 2x}}} \right) + 1\\
\ge 2.\sqrt {\sin 2x.\dfrac{1}{{\sin 2x}}} + 1\\
= 2\sqrt 1 + 1\\
= 3\\
\Rightarrow {y_{\min }} = 3 \Leftrightarrow \sin 2x = \dfrac{1}{{\sin 2x}} \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = 1\\
\sin 2x > 0 \Rightarrow \sin 2x = 1 \Rightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\
x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4}
\end{array}\)
Do đó, \({y_{\min }} = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\) hay \(m = 3\)
Vậy \(P = 2016 + m = 2016 + 3 = 2019\)
