Giả sử `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}` `(∀x,y>0)`
`⇔\frac{a^2.y}{x.y}+\frac{b^2.x}{y.x}\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{x+y}`
`⇔\frac{a^2y+b^2x}{x.y}\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{x+y}`
`⇔(a^2y+b^2x)(x+y) \geq(a^2+2ab+b^2).xy`
`⇔a^2y^2+b^2x^2-ab.xy\geq0`
`⇔(ay-bx)^2\geq0` ( giả sử đúng )
Dấu ''='' xảy ra khi `ay = bx⇔\frac{a}{x}=\frac{b}{y}.``(∀x,y>0)`
Áp dụng điều chứng minh trên ta có:
`A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}`
`⇔A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{16}{2xy}`
`⇔A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4^2}{2xy}\geq\frac{(1+4)^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{25}{(x+y)^2}`
Có: `\frac{25}{(x+y)^2}\geq\frac{25}{1^2}=\frac{25}{1}=25`
$⇒Min_{A}=25$ ` khi \frac{1}{x^2+y^2}=\frac{8}{xy}, x+y\leq1``(∀x,y>0)`
