a) Để hso liên tục thì ta phải có giới hạn trái tại 1 bằng với giới hạn phải tại 1.
Ta có
$\underset{x \to 1^+}{\lim} f(x) = \underset{x \to 1^+}{\lim} \dfrac{\sqrt{x+3} -2}{x-1}$
$= \underset{x \to 1^+}{\lim} \dfrac{x + 3 - 4}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)}$
$= \underset{x \to 1^+}{\lim} \dfrac{1}{\sqrt{x+3} + 2} = \dfrac{1}{4}$
Lại có
$\underset{x \to 1^-}{\lim} f(x) = \underset{x \to 1^-}{\lim} a = a$
Do đó $a = \dfrac{1}{4}$
b) Để hso liên tục tại 2 thì $f(2) = \underset{x \to 2}{\lim} f(x)$
Ta có
$\underset{x \to 2}{\lim} f(x) = \underset{x \to 2}{\lim} \dfrac{\sqrt[3]{3x+2} - 2}{x-2}$
$= \underset{x \to 2}{\lim} \dfrac{3x + 2 - 2^3}{(x-2)(\sqrt[3]{(3x+2)^2} + 4 + 2\sqrt[3]{3x+2})}$
$= \underset{x \to 2}{\lim} \dfrac{3}{\sqrt[3]{(3x+2)^2} + 4 + 2\sqrt[3]{3x+2}}$
$= \dfrac{3}{\sqrt[3]{64} + 4 + 2\sqrt[3]{8}} = \dfrac{1}{4}$
Lại có
$f(2) = a^2 . 2^2 - 2a.2 + \dfrac{1}{4} = 4a^2 - 4a + \dfrac{1}{4}$
Để hso liên tục thì
$\underset{x \to 2}{\lim} f(x) =f(2)$
$<-> 4a^2 - 4a + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$
$<-> a^2 - a = 0$
$<-> a(a-1) = 0$
Vậy $a = 0$ hoặc $a = 1$.
