Đáp án:
26) $V_{S.ABCD}=\dfrac{4a^3\sqrt7}{3}$
23) $V_{S.ABC}= \dfrac{3a^3\sqrt{39}}{4}$
14) $V_{S.ABCD}=\dfrac{4a^3\sqrt2}{3}$
Giải thích các bước giải:
26) $ABCD$ là hình vuông cạnh $2$
$\Rightarrow AC = BD = 2a\sqrt2$
Gọi $O=AC\cap BD$
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = a\sqrt2$
Ta có:
$SO\perp (ABCD)$ ($S.ABCD$ là hình chóp đều)
$\Rightarrow SO\perp AO$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$SA^2 = SO^2 + AO^2$
$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - AO^2}=\sqrt{9a^2 - 2a^2}=a\sqrt7$
Do đó:
$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SO =\dfrac{1}{3}.(2a)^2.a\sqrt7 = \dfrac{4a^3\sqrt7}{3}$
23) $∆ABC$ đều cạnh $3a$
$\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{(3a)^2\sqrt3}{4}=\dfrac{9a^2\sqrt3}{4}$
Gọi $O$ là tâm $∆ABC$
$\Rightarrow OA = \dfrac{AB\sqrt3}{3}=a\sqrt3$
Ta có:
$SO\perp (ABC)$ ($S.ABC$ là hình chóp đều)
$\Rightarrow SO\perp OA$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$\Rightarrow SO =\sqrt{SA^2 - OA^2}=\sqrt{16a^2 - 3a^2}=a\sqrt{13}$
Do đó:
$V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}.SO =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9a^2\sqrt3}{4}\cdot a\sqrt{13} = \dfrac{3a^3\sqrt{39}}{4}$
14) Gọi $O= AC \cap BD$
$\Rightarrow SO \perp (ACBD)$ ($S.ABCD$ là hình chóp đều)
$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABCD))}=\widehat{SAO}=45^o$
$\Rightarrow \begin{cases}SO = SA.\sin45^o\\OA = SA.\cos45^o\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}SO = a\sqrt2\\OA = a\sqrt2\end{cases}$
$\Rightarrow AC = 2AO = 2a\sqrt2$
$\Rightarrow AB = 2a$
$\Rightarrow S_{ABCD}=(2a)^2 = 4a^2$
Ta được:
$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SO =\dfrac{1}{3}.4a^2.a\sqrt2 = \dfrac{4a^3\sqrt2}{3}$
