Đáp án:
$m = \dfrac12$
Giải thích các bước giải:
$1)$ Tự khảo sát
$2)\quad y = x^3 - 3mx + 1$
$\Rightarrow y' = 3x^2 - 3m$
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'} >0$
$\Leftrightarrow 9m >0$
$\Leftrightarrow m > 0$
Ta có:
$+)\quad y'' = 6x$
$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 1$
$\Rightarrow U(0;1)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số
$\Rightarrow \overrightarrow{AU} = (2;2)$
$+)\quad y = y'\cdot \dfrac{x}{3} - 2mx + 1$
$\Rightarrow d: y = -2mx + 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $B, C$
$\Rightarrow \overrightarrow{n} = (2m;1)$ là $VTPT$ của $d$
Khi đó:
$\triangle ABC$ cân tại $A \Leftrightarrow AU\perp d$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AU} = k.\overrightarrow{n}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{2m} = \dfrac{2}{1}$
$\Leftrightarrow m =\dfrac12$ (nhận)
Vậy $m= \dfrac12$
