$AB$ là đường trung trực của $HN$ (gt)
`=>NH`$\perp AB$
`\qquad AN=AH;EN=EH`
Xét $∆AEN$ và $∆AEH$ có:
`\qquad AE` là cạnh chung
`\qquad AN=AH`
`\qquad EN=EH`
`=>∆AEN=∆AEH` (c-c-c)
`=>\hat{NAE}=\hat{HAE}` (hai góc tương ứng)
`\qquad \hat{ANE}=\hat{AHE}` (hai góc tương ứng) $(1)$
$\\$
$AC$ là đường trung trực của $HM$ (gt)
`=>MH`$\perp AC$
`\qquad AM=AH;FM=FH`
Xét $∆AFM$ và $∆AFH$ có:
`\qquad AF` là cạnh chung
`\qquad AM=AH`
`\qquad FM=FH`
`=>∆AFM=∆AFH` (c-c-c)
`=>\hat{MAF}=\hat{HAF}` (hai góc tương ứng)
`\qquad \hat{AMF}=\hat{AHF}` (hai góc tương ứng) $(2)$
Vì $AN=AH=AM$
`=>∆AMN` cân tại $A$
`=>\hat{AMN}=\hat{ANM}`
`=>\hat{AMF}=\hat{AMN}=\hat{ANM}=\hat{ANE}` $(3)$
$\\$
Từ `(1);(2);(3)=>\hat{AHE}=\hat{AMN}`
$\\$
Xét $∆AMN$ cân tại $A$
`=>\hat{NAM}=180°-2\hat{AMN}`
`=2.(90°-\hat{AMN})=2.(90°-\hat{AHE})`
`=2.\hat{BHE}` $(4)$
$\\$
`\qquad \hat{NAM}=\hat{NAE}+\hat{HAE}+\hat{HAF}+\hat{MAF}`
`=2\hat{HAE}+2\hat{HAF}`
`=2(\hat{HAE}+\hat{HAF})=2\hat{BAC}` $(5)$
$\\$
Từ `(4);(5)=>\hat{BHE}=\hat{BAC}`
$\\$
Xét $∆BHE$ và $∆BAC$ có:
`\qquad \hat{B}` chung
`\qquad \hat{BHE}=\hat{BAC}` (c/m trên)
`=>∆BHE∽∆BAC` (g-g)
`=>{BH}/{BA}={BE}/{BC}`
`=>{BE}/{BH}={BC}/{BA}`
$\\$
Xét $∆BEC$ và $∆BHA$ có:
`\qquad \hat{B}` chung
`\qquad {BE}/{BH}={BC}/{BA}` (c/m trên)
`=>∆BEC∽∆BHA` (c-g-c)
`=>\hat{BEC}=\hat{BHA}=90°`
`=>EC`$\perp AB$ tại $E$
Mà $NH\perp AB$ (do $AB$ là đường trung trực của $NH$)
`=>NH`//$EC$ (đpcm)
