Chứng minh bổ đề: $\sin(a+b)\sin (a-b)=sin^2a-sin^2b$ và $\sin 3a=4\sin a.\sin (60^o+a)\sin (60^o-a)$
$\begin{array}{l}  + \sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = \left( {\sin a\cos b + \sin b\cos a} \right)\left( {\sin a\cos b - \sin b\cos a} \right)\\  = {\left( {\sin a\cos b} \right)^2} - {\left( {\sin b\cos a} \right)^2}\\  = {\sin ^2}a.{\cos ^2}b - {\sin ^2}b{\cos ^2}a\\  = {\sin ^2}a.\left( {1 - {{\sin }^2}b} \right) - {\sin ^2}b\left( {1 - {{\sin }^2}a} \right)\\  = {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\ \sin 3a = 4\sin a\sin \left( {{{60}^o} + a} \right)\sin \left( {{{60}^o} - a} \right)\\ 4\sin a\sin \left( {{{60}^o} + a} \right)\sin \left( {{{60}^o} - a} \right)\\  = 4\sin a\left[ {\sin \left( {{{60}^o} + a} \right)\sin \left( {{{60}^o} - a} \right)} \right]\\  = 4\sin a.\left( {{{\sin }^2}{{60}^o} - {{\sin }^2}a} \right)\\  = 4.\sin a\left[ {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\sin }^2}a} \right]\\  = 4\sin a.\dfrac{3}{4} - 4{\sin ^3}a\\  = 3\sin a - 4{\sin ^3}a = \sin 3a\\ \end{array}$

Áp dụng bổ đề trên ta được:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 4\sin {2^o}\sin \left( {{{60}^o} + {2^o}} \right)\sin \left( {{{60}^o} - 2} \right) = \sin {6^o}\\ 4\sin {18^o}\sin \left( {{{60}^o} + {{18}^o}} \right)\sin \left( {{{60}^o} - {{18}^o}} \right) = \sin {54^o}\\ 4\sin {22^o}\sin \left( {{{60}^o} + {{22}^o}} \right)\sin \left( {{{60}^o} - 22} \right) = \sin {66^o} \end{array} \right.\\  \Rightarrow 64VT = \sin {6^o}\sin {54^o}\sin {66^o}\\ 64VT = \sin {6^o}\sin \left( {{{60}^o} - {6^o}} \right)\sin \left( {{{60}^o} + {6^o}} \right)\\ 64VT = \dfrac{{\sin {{\left( {6.3} \right)}^o}}}{4} = \dfrac{{\sin {{18}^o}}}{4}\\  \Rightarrow VT = \dfrac{{\sin {{18}^o}}}{{1024}} = \dfrac{{\sqrt 5  - 1}}{{1024}} \end{array}$

P/s: Có thể tính $\sin 18^o$ bằng máy tính hay dùng $\cos (18.3)^o=\sin (18.2)^o$