$y=\sqrt{x^2-2x+m}$
Xét $x^2-2x;x \in [2;+\infty)$
$x^2-2x=x(x-2) \ge 0 \, \forall \, x \in [2;+\infty)\\ \Rightarrow x^2-2x+m \ge m \, \forall \, x \in [2;+\infty)$
Để hàm số xác định thì $f(x)=x^2-2x+m \ge 0 \, \forall \, x \in [2;+\infty)$
$\Rightarrow min_{f(x)} \ge 0 \, \forall \, x \in [2;+\infty)\\ \Leftrightarrow m \ge 0$