a) Xét 2 tam giác vuông $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có:
$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)
$\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)
$\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHC$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow BH=CH$ (hai cạnh tương ứng)
b) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $ABH$ có:
$AB^2=AH^2+BH^2$, $BH=CH=\dfrac{BC}2=3$cm
$\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2=16\Rightarrow AH=4$cm
c) Do $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $\dfrac{AG}{AH}=\dfrac23$
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
$\Rightarrow\dfrac{AG}{AH-AG}=\dfrac{2}{3-2}$
$\Rightarrow\dfrac{AG}{GH}=2\Rightarrow \dfrac{GD}{GH}=2$
$\Rightarrow GH=DH$
Xét $\Delta GHC$ và $\Delta DHB$ có:
$GH=DH$ (chứng minh trên)
$\widehat{GHC}=\widehat{DHB}=90^o$ (đối đỉnh)
$HC=HB$ (giả thiết)
$\Rightarrow\Delta GHC=\Delta DHB$ (c.g.c)
$\Rightarrow CG=BD$
mà $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $\dfrac{CG}{CF}=\dfrac23$
$\Rightarrow \dfrac{BD}{CF}=\dfrac23$
$\Rightarrow BD=\dfrac23CF$
Ta có: CG giao AB tại F nên F là trung điểm của $AB$ nên $BF=\dfrac{AB}2=2,5$
$BD=CG$ $(\Delta GHC\bot H\text{ có }CG^2=HG^2+HC^2=\left({\dfrac43}\right)^2+3^2)\Rightarrow CG\approx3,2829$
$\Rightarrow BD>BF$
d) Ta có: $DB+DG=GC+AG>AC=AB$ (bất đẳng thức tam giác áp dụng vào $\Delta AGC$)
