Đáp án:
$x\in \Big[\dfrac{-11+\sqrt{589}}{26};+\infty\Big)$
Giải thích các bước giải:
$\dfrac{2mx^2+2(m-1)x+7m+9}{x^2+1}\geq 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{(2m-1)x^2+2(m-1)x+7m+8}{x^2+1}\geq0$
Do $x^2+1>0\forall x $ nên
$(2m-1)x^2+2(m-1)x+7m+8\geq 0$
Trường hợp 1:$2m-1=0\to m=\dfrac{1}{2}$
Thì $x\leq\dfrac{23}{8}$
Vậy Trường hợp này loại
Trường hợp 2: Để phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R thì :
$\begin{cases}a>0\\\Delta'\leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}2m-1>0\\(m-1)^2-(7m+8).(2m-1)\leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}2m>1\\m^2-2m+1-(14m^2+9m-8)\leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}2m>1\\m^2-2m+1-14m^2-9m+8\leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}2m>1\\-13m^2-11m+9\leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}2m>1\\\to\left[ \begin{array}{l}m\leq \dfrac{-11-\sqrt{589}}{26}\\m\geq \dfrac{-11+\sqrt{589}}{26}\end{array} \right.\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}m>\dfrac{1}{2}\\\to\left[ \begin{array}{l}m\leq \dfrac{-11-\sqrt{589}}{26}\\m\geq \dfrac{-11+\sqrt{589}}{26}\end{array} \right.\end{cases}$
Kết hợp lại ta có :
$m\geq \dfrac{-11+\sqrt{589}}{26}$
Vậy Tập nghiệm của bất phương trình là :
$x\in \Big[\dfrac{-11+\sqrt{589}}{26};+\infty\Big)$
