Xét $∆ABD$ và $∆ACE$ có:
$\widehat{BAC}:$ góc chung
$\widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$
Do đó $∆ABD\sim ∆ACE\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AE}$
$\Rightarrow AB.AE = AC.AD$ $(1)$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆AMC$ vuông tại $M$, đường cao $MD$ ta được:
$AM^2 = AC.AD$ $(2)$
Tương tự với $∆ANB$ ta được:
$AN^2 = AB.AE$ $(3)$
$(1)(2)(3)\Rightarrow AM = AN$
