Đáp án:

\(\begin{array}{l}
a)\dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\\
b)1 + 2\sqrt 2 \\
c)x \in \emptyset \\
d)Min = 3
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a)DK:x > 0\\
P = \dfrac{{\sqrt x  + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\
 = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\
 = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\\
b)Thay:x = 3 - 2\sqrt 2 \\
 = 2 - 2\sqrt 2 .1 + 1\\
 = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\\
 \to P = \dfrac{{3 - 2\sqrt 2  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  + 1}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} }}\\
 = \dfrac{{4 - 2\sqrt 2  + \sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  - 1}}\\
 = 1 + 2\sqrt 2 \\
c)P = \dfrac{1}{3}\\
 \to \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{1}{3}\\
 \to 3x + 3\sqrt x  + 3 = \sqrt x \\
 \to 3x + 2\sqrt x  + 3 = 0\left( {vô nghiệm} \right)\\
 \to x \in \emptyset \\
d)P = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}\\
Do:x > 0\\
BDT:Co - si:\sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{1}{{\sqrt x }}}  = 2\\
 \to \sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 3\\
 \to Min = 3\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  = \dfrac{1}{{\sqrt x }}\\
 \to x = 1
\end{array}\)

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x≥0.$

`a)P=(1/\sqrt{x}+\sqrt{x}/{\sqrt{x}+1}):\sqrt{x}/{x+\sqrt{x}}`

`P=({\sqrt{x}+1}/{\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1)}+{\sqrt{x}.\sqrt{x}}/{\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1)}):\sqrt{x}/{\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1)}`

`P={\sqrt{x}+1+x}/{\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1)}:1/{\sqrt{x}+1)`

`P={x+\sqrt{x}+1}/{\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1)}.(\sqrt{x}+1)`

`P={x+\sqrt{x}+1}/{\sqrt{x}}.`

Vậy với `x≥0,x\ne1` thì `P={x+\sqrt{x}+1}/{\sqrt{x}}.`

`b)` Ta có: `3-2\sqrt{2}=2-2.\sqrt{2}.1+1=(\sqrt{2}-1)^2`

`=>x=(\sqrt{2}-1)^2=>\sqrt{x}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}-1.`

Khi đó, thay vào `P` ta được:

`P={(3-2\sqrt{2})+(\sqrt{2}-1)+1}/{\sqrt{2}-1}`

`P={3-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1+1}/{\sqrt{2}-1}`

`P={3-\sqrt{2}}/{\sqrt{2}-1}`

`P={\sqrt{2}-1-2\sqrt{2}+4}/{\sqrt{2}-1}`

`P={\sqrt{2}-1+2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}/{\sqrt{2}-1}`

`P={(\sqrt{2}-1)(1+2\sqrt{2})}/{\sqrt{2}-1}`

`P=1+2\sqrt{2}.`

Vậy với `x=3-2\sqrt{2}` thì `P=1+2\sqrt{2}.`

`c)P=1/3`

`<=>{x+\sqrt{x}+1}/{\sqrt{x}}=1/3`

`<=>{3.(x+\sqrt{x}+1)}/{\sqrt{x}}=1.`

`<=>3x+3\sqrt{x}+3=\sqrt{x}.`

`<=>3x+3\sqrt{x}+3-\sqrt{x}=0`

`<=>3x+2\sqrt{x}+3=0`

`<=>x+2/3. \sqrt{x} +1=0`

`<=> x + 2. \sqrt{x} . 1/3 + 1/9 +8/9=0`

`<=> (\sqrt{x} + 1/3)^2+8/9=0`

Có: ` (\sqrt{x} + 1/3)^2≥0∀x=> (\sqrt{x} + 1/3)^2+8/9≥8/9>0∀x`

`=>` phương trình vô nghiệm.

Vậy không có `x` thỏa mãn để `P=1/3`

`d)P={x+\sqrt{x}+1}/{\sqrt{x}}`

`=x/{\sqrt{x}} + \sqrt{x}/\sqrt{x} +1/\sqrt{x}`

`=\sqrt{x}+1+1/\sqrt{x}.`

Áp dụng bất đẳng thức `Cô-si` cho hai số dương `\sqrt{x}` và `1/\sqrt{x}` ta được:

`\sqrt{x}+1/\sqrt{x}≥2. \sqrt{\sqrt{x}. 1/\sqrt{x}}=2.`

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `\sqrt{x} =  1/\sqrt{x}<=>x=1(tmdk)`

`=>P≥2+1=3.`

Vậy `minP=3<=>x=1.`