Đáp án + giải thích các bước giải:
`VT^2=[\sqrt{a+(b-c)^2}+\sqrt{b+(c-a)^2}+\sqrt{c+(a-b)^2}]^2`
`=a+b+c+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+2\sqrt{[a+(b-c)^2][b+(a-c)^2]}+2\sqrt{[b+(c-a)^2][c+(b-a)^2]}+2\sqrt{[a+(b-c)^2][c+(b-a)^2]}`
`=2(\sqrt{[a+(b-c)^2][b+(a-c)^2]}+\sqrt{[b+(c-a)^2][c+(b-a)^2]}+\sqrt{[a+(b-c)^2][c+(b-a)^2]})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+(a+b+c)^2`
`=2(\sqrt{[a+(b-c)^2][b+(a-c)^2]}+\sqrt{[b+(c-a)^2][c+(b-a)^2]}+\sqrt{[a+(b-c)^2][c+(b-a)^2]})+3(a^2+b^2+c^2)`
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
`VT^2>=2[\sqrt{ab}(a+b+c)+(b-c)(a-c)+\sqrt{bc}(a+b+c)+(c-a)(b-a)+\sqrt{ca}(a+b+c)+(b-c)(b-a)]+3(a^2+b^2+c^2)`
mà `a+b>=2\sqrt{ab}->\sqrt{ab}<=(2ab)/(a+b)`
`->VT^2>=2[(a+b+c)((2a)/(a+b)+(2b)/(b+c)+(2c)/(c+a))+ab-ac-bc+c^2+bc-ab-ac+a^2+b^2-bc-ab+ac]+3(a^2+b^2+c^2)`
`=5(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca) +4[(ab(a+b))/(a+b)+(abc)/(a+b)+(bc(b+c))/(b+c)+(abc)/(b+c)+(ca(c+a))/(c+a)+(abc)/(c+a)]`
`=5(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca+(abc)/(a+b)+(abc)/(b+c)+(abc)/(c+a))`
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:
`VT^2>=5(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)+4[ab+bc+ca+(3\sqrt{abc})^2/(a+b+b+c+c+a)]`
`=5(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)+4[ab+bc+ca+1/2 . (9abc)/(a+b+c)]`
Áp dụng bất đẳng thức Schur:
`VT^2>=5(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)+4{ab+bc+ca+1/2 . [2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)]}`
`=5(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)-2(a^2+b^2+c^2)`
`=3(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)`
`=3(a+b+c)^2`
`=3`
`->VT>=\sqrt[3}`
`->đpcm `
Dấu bằng xảy ra khi: `a=b=c=1/3` (theo Cô-si và Bunhiacopxki) hoặc `(a;b;c)=(0;1/2;1/2)` và các hoán vị (theo Schur)
