`b)` $MP\perp BC$ tại $P$
`=>\hat{MPC}=90°`
`\qquad MK`$\perp AC$ tại $K$
`=>\hat{MKC}=90°`
`=>\hat{MPC}+\hat{MKC}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{MPC};\hat{MKC}` ở vị trí đối diện
`=>MPCK` nội tiếp
`=>\hat{MPK}=\hat{MCK}` (cùng chắn cung $MK$)
$\\$
Ta có:
`\quad \hat{MBC}=\hat{MCK}` (cùng chắn cung $MC$ của $(O))$
`=>\hat{MPK}=\hat{MBC}`
$\\$
`c)` $MP\perp BC$ tại $P$
`=>\hat{MPB}=90°`
`\qquad MI`$\perp AB$ tại $I$
`=>\hat{MIB}=90°`
`=>\hat{MPB}+\hat{MIB}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{MPB};\hat{MIB}` ở vị trí đối diện
`=>MIBP` nội tiếp
`=>\hat{MIP}=\hat{MBP}` (cùng chắn cung $MP$)
`\qquad =\hat{MBC}=\hat{MPK}`
`=>\hat{MIP}=\hat{MPK}`
Ta có:
`\qquad \hat{IMP}+\hat{IBP}=180°` (do $MIBP$ nội tiếp)
`\qquad \hat{PMK}+\hat{KCP}=180°` (do $MPCK$ nội tiếp)
$\\$
Mà `\hat{IBP}=\hat{KCP}` (cùng chắn cung $BC$ của $(O)$)
`=>\hat{IMP}=\hat{PMK}`
$\\$
Xét $∆IMP$ và $∆PMK$ có:
`\qquad \hat{IMP}=\hat{PMK}` (c/m trên)
`\qquad \hat{MIP}=\hat{MPK}` (c/m trên)
`=>∆IMP∽∆PMK` (g-g)
`=>{MI}/{MP}={MP}/{MK}`
`=>MP^2=MI.MK`
`=>MP^3=MI.MK.MP`
`=>MI.MK.MP` lớn nhất khi $MP^3$ lớn nhất
`=>MP` lớn nhất.
$\\$
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $BC$
Vì $BC$ cố định nên $OH$ không đổi.
Gọi $N$ là giao điểm của $OM$ và $BC$
Áp dụng tính chất đường vuông góc ngắn nhất.
Xét $∆MNP$ vuông tại $P$ có:
`\qquad MP\le MN`
Xét $∆ONH$ vuông tại $H$ có:
`\qquad OH\le ON`
`=>MP+OH\le MN+ON=OM=R`
`=>MP\le R-OH`
Dấu "=" xảy ra khi $P≡H$
`=>OM`$\perp BC$ tại $P$
`=>P` là trung điểm $BC$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)
`=>OM` là trung trực $BC$
`=>MB=MC`
`=>\stackrel\frown{MB}=\stackrel\frown{MC}` (liên hệ dây và cung)
hay $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$
Vậy khi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ thì $MI.MK.MP$ có giá trị lớn nhất bằng $(R-OP)^3$
