Giải thích các bước giải:

a.Ta có $O$ là giao $3$ đường trung trực

$\to OR\perp AC , OP\perp AB$

Mà $H$ là trực tâm $\Delta ABC\to CH\perp AB, BH\perp AC$

$\to BH//OR, CH//PQ$

Vì $P, Q,R$ là trung điểm $AB, AH, AC$

$\to PQ, QR$ là đường trung bình $\Delta ABH,\Delta ACH$

$\to PQ//BH, QR//CH$

$\to OR//PQ, OP//QR$

$\to PQRO$ là hình bình hành

Để $OPQR$ là hình thoi

$\to QP=QR$

$\to 2QP=2QR$

$\to BH=HC$ vì $PQ, QR$ là đường trung bình $\Delta ABH,\Delta ACH$

$\to H\in$ trung trực của $BC$
Mà $AH\perp BC\to AH$ là trung trực của $BC\to \Delta ABC$ cân tại $A$

b.Gọi $K$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$

$\to O$ là trung điểm $AK$

Ta có $O, P$ là trung điểm $AK, AB\to OP$ là đường trung bình $\Delta ABK$

$\to BK//PO$

Mà $OP\perp AB\to BK\perp AB$

$\to BK//CH$ vì $CH\perp AB$

Tương tự $CK//BH$

$\to BHCK$ là hình bình hành

$\to HK\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $M$ là trung điểm $BC\to M$ là trung điểm $KH$

Lại có $O$ là trung điểm $AK\to OM$ là đường trung bình $\Delta AHK$

$\to OM=\dfrac12AH=AQ$

c.Gọi $AM\cap HO=G'$

Vì $O, M$ là trung điểm $AK, HK\to G'$ là trọng tâm $\Delta AHK$

$\to \dfrac{AG'}{AM}=\dfrac23$

Mà $G$ là trọng tâm $\Delta ABC\to \dfrac{AG}{AM}=\dfrac23$

$\to G\equiv G'$

$\to H,G,O$ thẳng hàng

d.Gọi $AH\cap BC=J\to AJ\perp BC$

Do $S_{ABC}$ không đổi

$\to \dfrac12AJ\cdot BC=const$

$\to AJ=const$

Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $M$ là trung điểm $AN$

Do $M$ là trung điểm $BC$

$\to ABNC$ là hình bình hành

$\to CN=AB=AE$

Mặt khác $AB//CN$

$\to \widehat{ACN}=180^o-\widehat{BAC}=\widehat{EAL}$

Xét $\Delta AEL,\Delta CNA$ có:

$AL=AC$ vì $ACFL$ là hình vuông

$\widehat{EAL}=\widehat{ACN}$

$AE=CN$

$\to \Delta AEL=\Delta CNA(c.g.c)$

Mà $I, M$ là trung điểm $EL, AN$

$\to \Delta ALI=\Delta CMA$

$\to \widehat{IAL}=\widehat{ACM}=\widehat{ACJ}=90^o-\widehat{JAC}$

$\to \widehat{IAL}+\widehat{JAC}=90^o$

$\to \widehat{IAL}+\widehat{JAC}+\widehat{LAC}=90^o+90^o$

$\to \widehat{IAJ}=180^o\to I,A,J$ thẳng hàng

$\to IJ\perp BC$

Mặt khác $AI=CM=\dfrac12BC\to IJ=AI+AJ=\dfrac12CB+AJ$ không đổi

$\to I$ di chuyển trên đường thẳng song song với $BC$ cách $BC$ một khoảng bằng $\dfrac12BC+AJ$ không đổi