Đáp án:
`a)` `AH=2\sqrt{2}cm; AB=2\sqrt{6}cm;AC=2\sqrt{3}cm`
`\qquad \hat{ABC}≈35°16'`
Giải thích các bước giải:
`a)` $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AH^2=BH.CH` (hệ thức lượng)
`=>AH^2=4\ . 2=8 `
`=>AH=\sqrt{8}=\sqrt{2^2 .2}=2\sqrt{2}cm`
$\\$
$∆ABH$ vuông tại $H$
`=> AB^2=BH^2+AH^2` (định lý Pytago)
`=4^2+8=24`
`=>AB=\sqrt{24}=\sqrt{2^2 . 6}=2\sqrt{6}cm`
$\\$
$∆ACH$ vuông tại $H$
`=> AC^2=CH^2+AH^2` (định lý Pytago)
`=2^2+8=12`
`=>AC=\sqrt{12}=\sqrt{2^2 . 3}=2\sqrt{3}cm`
$\\$
Ta có: `tan\hat{ABC}={AC}/{AB}={2\sqrt{3}}/{2\sqrt{6}}=1/\sqrt{2}`
`=>\hat{ABC}≈35°16'`
$\\$
Vậy: `AH=2\sqrt{2}cm; AB=2\sqrt{6}cm;AC=2\sqrt{3}cm`
`\qquad \hat{ABC}≈35°16'`
$\\$
`b)` Xét $∆ABH$ và $∆CHE$ có:
`\qquad \hat{AHB}=\hat{CEH}=90°`
`\qquad \hat{ABH}=\hat{CHE}` (cùng phụ `\hat{ACH}`)
`=>∆ABH∽∆CHE` (g-g)
`=>{AH}/{CE}={AB}/{CH}`
`=>CE={AH.CH}/{AB}`
$\\$
$∆ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$
`=>AC^2=CH.BC` (hệ thức lượng)
`\qquad AB.AC=AH.BC`
`=>AB.AC^3=AH.CH.BC^2`
`=>AC^3={AH.CH}/{AB}.BC^2`
`=>AC^3=CE.BC^2` (đpcm)
