Đáp án+Giải thích các bước giải:
`a)`
`x^2-x+1`
`=x^2-x+1/4+3/4`
`=x^2-2.x.(1)/2+(1/2)^2+3/4`
`=(x-1/2)^2+3/4`
Vì `(x-1/2)^2≥0∀x`
`⇒(x-1/2)^2+3/4≥3/4>0`
`⇒x^2-x+1>0`
Vậy biểu thức đã cho luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến.
`b)`
`4x^2-2x+10`
`=(2x)^2-2.2x.(1/2)+1/4+39/4`
`=(2x)^2-2.2x.(1)/2+(1/2)^2+39/4`
`=(2x-1/2)^2+39/4`
Vì `(2x-1/2)^2≥0∀x`
`⇒(2x-1/2)^2+39/4≥39/4>0`
`⇒4x^2-2x+10>0`
Vậy biểu thức đã cho luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến.
`c)`
`x^2+3x+6`
`=x^2+2.x.(3)/2+9/4+15/4`
`=x^2+2.x.(3)/2+(3/2)^2+15/4`
`=(x+3/2)^2+15/4`
Vì `(x+3/2)^2≥0∀x`
`⇒(x+3/2)^2+15/4≥15/4>0`
`⇒x^2+3x+6>0`
Vậy biểu thức đã cho luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến.
`d)`
`x^4+x^2+2`
Vì `x^4≥0∀x` và `x^2≥0∀x`
`⇒x^4+x^2≥0∀x`
`⇒x^4+x^2+2≥2>0`
Vậy biểu thức đã cho luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến.
`e)`
`(x+3)(x-11)+2021`
`=x^2-11x+3x-33+2021`
`=x^2-8x+1988`
`=x^2-8x+16+1972`
`=x^2-2.x.4+4^2+1972`
`=(x-4)^2+1972`
Vì `(x-4)^2≥0∀x`
`⇒(x-4)^2+1972≥1972>0`
`⇒(x+3)(x-11)+2021>0`
Vậy biểu thức đã cho luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến.
`f)`
`x^2+y^2-6(x+y)+2020`
`=x^2+y^2-6x-6y+9+9+2002`
`=(x^2-6x+9)+(y^2-6y+9)+2002`
`=(x-3)^2+(y-3)^2+2002`
Vì `(x-3)^2≥0∀x` và `(y-3)^2≥0∀y`
`⇒(x-3)^2+(y-3)^2≥0∀x;y`
`⇒(x-3)^2+(y-3)^2+2002≥2002>0`
`⇒x^2+y^2-6(x+y)+2020>0`
Vậy biểu thức đã cho luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến.
