3a) $\dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c+ a} + \dfrac{c^2}{a + b}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta được:
$\dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c+ a} + \dfrac{c^2}{a + b} \geq \dfrac{(a + b + c)^2}{b+ c +c + a +a + b} = \dfrac{a + b + c}{2}$
3b) Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ cho 3 số dương, ta được:
$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a + b + c)^3}{27} \geq abc$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{27} \geq abc$
Tương tự:
$\dfrac{[(a + b) + (b + c) + (c + a)]^3}{27} \geq (a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow \dfrac{8(a + b + c)^3}{27} \geq (a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow \dfrac{8}{27} \geq (a+b)(b+c)(c+a)$
Do đó ta được:
$\dfrac{1}{27}\cdot\dfrac{8}{27} \geq abc(a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow abc(a+b)(b+c)(c+a) \leq \dfrac{8}{729}$
