$x^{2}$ - (3m+1)x + $2m^{2}$ + m - 1 = 0 (1)
a) Ta có: Δ = $(-3m-1)^{2}$ + 4.($2m^{2}$ + m - 1)
= $9m^{2}$ + 6m + 1 - $8m^{2}$ - 4m + 4
= $m^{2}$ + 2m + 5
= $m^{2}$ + 2.m.1 + 1 + 4
= $(m+1)^{2}$ + 4
Vì $(m+1)^{2}$ ≥ 0 với mọi m ⇒ $(m+1)^{2}$ + 4 > 0 với mọi m
⇒ Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
$\left \{ {{x_1 + x_2 = 3m+1} \atop {x_1.x_2=2m^2+m-1}} \right.$ (*)
B = $x_1^{2}$ - 4$x_{1}$$x_{2}$ + $x_2^{2}$
B = $x_1^{2}$ + 2$x_{1}$$x_{2}$ + $x_2^{2}$ - 6$x_{1}$$x_{2}$
B = $(x_{1} +x_{2}) ^{2}$ - 6$x_{1}$$x_{2}$
Thay (*) vào B ta có:
B = $(3m+1)^{2}$ - 6.($2m^{2}$ + m - 1)
B= $9m^{2}$ + 6m + 1 - $12m^{2}$ -6m + 6
B = $-3m^{2}$ + 7
Vì $m^{2}$ ≥ 0 với mọi m ⇒ $-3m^{2}$ ≤ 0 với mọi m
⇒ $-3m^{2}$ + 7 ≤ 7
Dấu "=" xảy ra khi m = 0
Vậy GTLN của biểu thức B là 7 khi m = 0
