Bài 3

Xét ptrinh

$(m+1)\sin^2x -\sin(2x) + 2\cos^2x = 1$

Áp dụng công thức hạ bậc ta có

$\dfrac{m+1}{2} [1 -\cos(2x)] - \sin(2x) + [1 + \cos(2x)] = 1$

$<-> (m+1)[1-\cos(2x)] - 2\sin(2x) + 2 + 2\cos(2x) = 2$

$<-> (1-m) \cos(2x) - 2\sin(2x) = 1-m$

Chia cả 2 vế cho $\sqrt{(1-m)^2 + 2^2} = \sqrt{m^2 - 2m + 5}$, ta có

$\dfrac{1-m}{\sqrt{m^2 - 2m + 5}} \cos(2x) - \dfrac{2}{\sqrt{m^2 - 2m + 5}} \sin(2x) = \dfrac{1-m}{\sqrt{m^2 - 2m + 5}}$

Đặt $\sin a = \dfrac{1-m}{\sqrt{m^2 - 2m + 5}}, \cos a = \dfrac{2}{\sqrt{m^2 - 2m + 5}}$, ptrinh trở thành

$\sin(a - 2x) = \dfrac{1-m}{\sqrt{m^2 - 2m + 5}}$

Để ptrinh có nghiệm thì $-1 \leq \dfrac{1-m}{\sqrt{m^2 - 2m + 5}} \leq 1$.

TH1: $\dfrac{1-m}{\sqrt{m^2 - 2m + 5}} \geq -1$

BPT tương đương vs

$1-m \geq - \sqrt{m^2 - 2m + 5}$

$<-> m-1 \leq \sqrt{m^2 - 2m + 5}$

ĐK; $m \geq 1$. Bình phương 2 vế ta có

$m^2 - 2m +1 \leq m^2 - 2m + 5$

$<-> 1 \leq 5$.

BĐT này đúng với mọi $m \geq 1$.

TH2: $\dfrac{1-m}{\sqrt{m^2 - 2m + 5}} \leq 1$

BPT tương đương vs

$1-m \leq \sqrt{m^2 - 2m + 5}$

ĐK: $m \leq 1$. Bình phương 2 vế ta có

$m^2 - 2m + 1 \leq m^2 - 2m + 5$

$<-> 1 \leq 5$

BĐT này cũng đúng với mọi $m \leq 1$.

Vậy ptrinh có nghiệm với mọi $m$.

Bài 4

Áp dụng công thức hạ bậc ta có

$\dfrac{3m-2}{2} [1-\cos(2x)] - (5m-2) \sin(2x)+ \dfrac{3(2m+1)}{2} [1 + \cos(2x)] = 0$

$<-> (3m-2) - (3m-2)\cos(2x) - 2(5m-2) \sin(2x) + 3(2m+1) + 3(2m+1) \cos(2x) = 0$

$<-> (3m+5) \cos(2x) - 2(5m-2) \sin(2x) = -9m - 1$

Chia cả 2 vế cho $\sqrt{(3m+5)^2 + [2(5m-2)]^2} = \sqrt{109m^2 - 50m + 41}$. Ptrinh trở thành

$\dfrac{3m+5}{\sqrt{109m^2 - 50m + 41}} \cos(2x) - \dfrac{2(5m-2)}{\sqrt{109m^2 - 50m + 41}} \sin(2x) = \dfrac{-9m-1}{\sqrt{109m^2 - 50m + 41}}$

Đặt $\sin a = \dfrac{3m+5}{\sqrt{109m^2 - 50m + 41}}$, $\cos a = \dfrac{2(5m-2)}{\sqrt{109m^2 - 50m + 41}}$, khi đó, ptrinh trở thành

$\sin(a - 2x) = \dfrac{-9m-1}{\sqrt{109m^2 - 50m + 41}}$

Để ptrinh vô nghiệm thì $\dfrac{-9m-1}{\sqrt{109m^2 - 50m + 41}} \geq 1$ hoặc $\dfrac{-9m-1}{\sqrt{109m^2 - 50m + 41}} \leq -1$.

TH1: $\dfrac{-9m-1}{\sqrt{109m^2 - 50m + 41}} \geq 1$

Nhân cả 2 vế vs $\sqrt{109m^2 - 50m + 41}$ ta có

$-9m-1 \geq \sqrt{109m^2 - 50m + 41}$

ĐK: $m \leq -\dfrac{1}{9}$, Bình phương 2 vế ta có

$81m^2 + 18m + 1 \geq 109m^2 - 50m + 41$

$<-> 28m^2 -68m + 40 \leq 0$

$<-> 1 \leq m \leq \dfrac{10}{7}$

Kết hợp vs đk ta thấy $m$ ko thỏa mãn.

TH2: $\dfrac{-9m-1}{\sqrt{109m^2 - 50m + 41}} \leq -1$

Nhân cả 2 vế vs $\sqrt{109m^2 - 50m + 41}$ ta có

$-9m - 1 \leq -\sqrt{109m^2 - 50m + 41}$

$<-> 9m + 1 \geq \sqrt{109m^2 - 50m + 41}$

ĐK: $m \geq -\dfrac{1}{9}$. Bình phương 2 vế ta có

$81m^2 + 18m + 1 \geq 109m^2 - 50m + 41$

$<-> 28m^2 - 68m + 40 \leq 0$

$<-> 1 \leq m \leq \dfrac{10}{7}$

Vậy để ptrinh có nghiệm thì $1 \leq m \leq \dfrac{10}{7}$.