Đáp án+ giải thích các bước giải:
Vì(a;b)=1
⇒ab$\neq$ 0
Vì ab + c²`\vdots` ac
⇒ab+c²=ac×k( với k ∈$Z^{+}$ )
⇒ab=c×ak-c²
⇒ab=c×(ak-c)
⇒ak-c$\neq$ 0
Vì (a;b)=1
⇒\(\left[ \begin{array}{l}a\vdots c ; b\vdots(ak-c)\\a\vdots(ak-c);b\vdots c\end{array} \right.\)
TH1:Với a`\vdots`c và b`\vdots`(ak-c)
⇒a=ch(với h∈$Z^{+}$ )
Vì b`\vdots`(ak-c)
⇒b`\vdots`c(hk-1)
Mà ak-c=c(hk-1) và ak-c$\neq$ 0
⇒hk-1$\neq$ 0
⇒b`\vdots`c
⇒(a;b)=c(mâu thuẫn với a;b nguyên tố cùng nhau)
TH2:Với b`\vdots`c và a`\vdots`(ak-c)
⇒b=ch(với h∈$Z^{+}$ )
⇒ab+c²=ach+c²
⇒c×(ah+c)=ab+c²
⇒c×(ah+c)`vdots`ac
⇒ah+c`vdots`a
Vì ah`vdots`a
⇒c`vdots`a
⇒b`vdots`a(mâu thuẫn với a;b nguyên tố cùng nhau)
Từ 2 trường hợp trên
⇒Không có 3 số a;b và c thỏa mãn
⇒Không chứng minh được
⇒Đề bài sai
Vậy ...
Lưu ý:(a;b)=1 là a và b nguyên tố cùng nhau
$Z^{+}$ là tập hợp các số nguyên dương
