#
`a)`
Xét `ΔAEC` và `ΔADB` có :
`hat{AEC} = hat{ADB} = 90^o` (Vì `BD⊥AC, CE⊥AB`)
`hat{A}` chung
`AB = AC` (vì `ΔABC` cân tại `A`)
`-> ΔAEC= ΔADB (ch - gn)`
`-> BD = CE` (2 cạnh tương ứng)
`b)`
Vì `ΔAEC = ΔADB (cmt)`
`-> hat{EBH} = hat{DCH}` (2 góc tương ứng)
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`-> hat{EBC} = hat{DCB}`
Ta có : `hat{EBH} + hat{HBC} = hat{EBC}, hat{DCH} + hat{HCB} = hat{DCB}`
mà `hat{EBH} = hat{DCH} (cmt), hat{EBC} = hat{DCB} (cmt)`
`-> hat{HCB} = hat{HCB}`
`-> ΔBHC` Cân tại `H` (Định lí tam giác cân)
`c)`
Xét `ΔEHB` và `ΔDHC` có :
`BH = CH` (Vì `ΔBHC` cân tại `H`)
`hat{EHB} = hat{DHC}` (2 góc đối đỉnh)
`hat{EBH} = hat{DCH} (cmt)`
`-> ΔEHB = ΔDHC (g.c.g)`
`-> EH = HD` (2 cạnh tương ứng)
`-> BE = CD` (2 cạnh tương ứng)
Ta có : `AE + BE = AB, AD + CD = AC`
mà `BE = CD (cmt), AB = AC` (Vì `ΔABC` cân)
`-> AE = AD`
Xét `ΔAHE` và `ΔAHD` có :
`EH = HC (cmt)`
`AE = AD (cmt)`
`hat{AEC} = hat{ADB} = 90^o` (Vì `BD⊥AC, CE⊥AB`)
`-> ΔAHE = ΔAHD (c.g.c)`
`-> hat{EAH} = hat{DAH}` (2 góc tương ứng)
Gọi `M` là giao điểm của `AH` và `BC`
Xét `ΔAMB` và `ΔAMC` có :
`AM` chung
`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân)
`hat{EAH} = hat{DAH} (cmt)`
`-> ΔAMB = ΔAMC (c.g.c)`
`-> BM = MC` (2 cạnh tương ứng) (1)
`-> hat{AMB} = hat{AMC}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{AMB} + hat{AMC} = 180^o` (2 góc kề bù)
`-> hat{AMB} = hat{AMC} = 180^o/2 = 90^o`
hay `AM⊥BC` (2)
Từ (1) và (2)
`-> AH` là đường trung trực của `BC`
`d)`
Xét `ΔECB` và `ΔDBC` có :
`hat{DBC} = hat{ECB}` (Vì `ΔBHC` cân)
`BE = DC (cmt)`
`hat{BEC} = hat{CDB} = 90^o` (Vì `CE⊥AB, BD⊥AC`)
`-> ΔECB = ΔDBC (g.c.g) (1)`
Xét `ΔDBC` và `ΔDKC` có :
`BD = DK` (Vì `D` là trung điểm của `BK`)
`DC` chung
`hat{BDC} = hat{KDC} = 90^o`
`-> ΔDBC = ΔDKC (c.g.c) (2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`-> ΔEBC = ΔDKC (= ΔDBC)`
`-> hat{ECB} = hat{DKC}` (2 góc tương ứng)
