Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đầu tiên ta sẽ chứng minh
`(a+b)/(a-b) . (b+c)/(b-c) +(a+b)/(a-b) .(a+c)/(a-c) +(b+c)/(b-c). (a+c)/(a-c)=-1`
Đặt `x = (a+ b)/(a- b) ; y = (b + c)/(b - c) ; z = (a + c)/(a - c)`
Ta có
`(x + 1)(y+ 1)(z + 1) = (x - 1)(y - 1)(z- 1)=(8abc)/[(a-b)(b-c)(c-a)]`
`=>xy+yz+zx=-1`
`=>(a+b)/(a-b) . (b+c)/(b-c) +(a+b)/(a-b) .(a+c)/(a-c) +(b+c)/(b-c). (a+c)/(a-c)=-1`
Bây giờ sẽ chứng minh BĐT đề bài
`(a^2+b^2)/(a-b)^2+(b^2+c^2)/(b-c)^2+(c^2+a^2)/(c-a)^2>=5/2`
`<=> [2(a^2+b^2)]/(a-b)^2+[2(b^2+c^2)]/(b-c)^2+[2(c^2+a^2)]/(c-a)^2>=5`
`<=>[(a+b)^2+(a-b)^2]/(a-b)^2+[(b+c)^2+(b-c)^2]/(b-c)^2+[(c+a)^2+(c-a)^2]/(c-a)^2>=5`
`<=>1+(a+b)^2/(a-b)^2+1+(b+c)^2/(b-c)^2+1+(c+a)^2/(c-a)^2>=5`
`<=>((a+b)/(a-b))^2+((b+c)/(b-c))^2+((c+a)/(c-a))^2>=2`
Đặt `x = (a+ b)/(a- b) ; y = (b + c)/(b - c) ; z = (a + c)/(a - c)`
`=>xy+yz+zx=-1`
Ta có
`(x+y+z)^2>=0`
`<=>x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)>=0`
`<=>x^2+y^2+z^2>=-2(xy+yz+zx)`
`<=>x^2+y^2+z^2>=(-2).(-1)`
`<=>x^2+y^2+z^2>=2`
`=>((a+b)/(a-b))^2+((b+c)/(b-c))^2+((c+a)/(c-a))^2>=2`
`=>đ.p.c.m`
