Đáp án:

 $a=1$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
2x + a,x \le 1\\
\dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}},x > 1
\end{array} \right.$

$\to $ Hàm $f(x)$ liên tục trên $R\backslash \left\{ 1 \right\}$

Như vậy:

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $R$

$ \Leftrightarrow $ Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$

$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = a + 2$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right)\\
 = {1^2} + 2\\
 = 3
\end{array}$

Như vậy:

$\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\\
 \Leftrightarrow a + 2 = 3\\
 \Leftrightarrow a = 1
\end{array}$

Vậy $a=1$

$\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)$

$=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}$

$=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x^2(x-1)+2(x-1)}{x-1}$

$=\lim\limits_{x\to 1^+}(x^2+2)$

$=1^2+2=3$

$\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)$

$=\lim\limits_{x\to 1^-}(2x+a)$

$=a+2=f(1)$

$\to a+2=3$

$\to a=1$