Đáp án:

$AH = 6\sqrt 2 cm$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta AFC;\widehat {AFC} = {90^0};\widehat A = {60^0}\\
 \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AC}} = \cos A = \dfrac{1}{2}\\
\Delta AEB;\widehat {AEB} = {90^0};\widehat A = {60^0}\\
 \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \cos A = \dfrac{1}{2}
\end{array}$

Như vậy:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Achung\\
\dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow EF = \dfrac{1}{2}BC = 6cm
\end{array}$

Ta có:

$K$ là trung điểm của $AH$ nên ta có: $KF = KE = KA = KH = \dfrac{1}{2}AH$ (Do tam giác $AFH$ và $AEH$ vuông có cạnh huyền là $AH$)

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\Delta AKF;KA = KF\\
 \Rightarrow \widehat {KAF} = \widehat {KFA}\\
 \Rightarrow \widehat {HKF} = \widehat {KAF} + \widehat {KFA} = 2\widehat {KAF}\left( 1 \right)\\
\Delta AKE;KA = KE\\
 \Rightarrow \widehat {KAE} = \widehat {KEA}\\
 \Rightarrow \widehat {HKE} = \widehat {KAE} + \widehat {KEA} = 2\widehat {KAE}\left( 2 \right)\\
\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {HKF} + \widehat {HKE} = 2\left( {\widehat {KAF} + \widehat {KAE}} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {EKF} = 2\widehat {BAC} = {120^0}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta EKF;KE = KF;\widehat {EKF} = {120^0}\\
 \Rightarrow \widehat {KEM} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {EKF}}}{2} = {30^0}
\end{array}$

Gọi $M$ là trung điểm của $EF$ suy ra $KM$ là trung trực của $EF$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\Delta KEM;\widehat {KME} = {90^0};\widehat {KEM} = {30^0};EM = \dfrac{{EF}}{2} = 3cm\\
 \Rightarrow KE = \dfrac{{EM}}{{\cos \widehat {KEM}}} = \dfrac{3}{{\cos {{30}^0}}} = \dfrac{6}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 cm\\
 \Rightarrow AH = 2KE = 6\sqrt 2 cm
\end{array}$\
Vậy $AH = 6\sqrt 2 cm$