Đáp án:
$a/$
Xét `ΔADC` và `ΔAEB` có :
`hat{ADC} = hat{AEB} = 90^o`
`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)
`hat{A}` chung
`-> ΔADC = ΔAEB` (cạnh huyền - góc nhọn)
$\\$
$\\$
$b/$
Xét `ΔABC` có :
`BE` là đường cao
`CD` là đường cao
`BE` cắt `CD` tại `I`
`-> I` là trực tâm của `ΔABC`
`-> AI` là đường cao
mà `ΔABC` cân tại `A`
`-> AI` là đường phân giác của `hat{BAC}`
$\\$
$\\$
$c/$
Vì `ΔABE = ΔACD` (chứng minh trên)
`-> hat{ABE} = hat{ACD}` (2 góc tương ứng)
Ta có : `hat{IBC} = hat{B} - hat{ABC}`
Ta có : `hat{ICB} = hat{C} - hat{ACD}`
mà `hat{B} = hat{C}, hat{ABC} = hat{ACD}`
`-> hat{IBC} = hat{ICB}`
`-> ΔBIC` cân tại `I`
`-> BI = IC`
Xét `ΔIEC` vuông tại `E` có :
`IC` là cạnh lớn nhất
`-> IC > EI`
mà `BI = IC`
`-> BI > EI`
$\\$
$\\$
$d/$
Gọi `G` là giao điểm của `DE` và `AI`
Vì `ΔACD = ΔABE` (chứng minh trên)
`-> AD = AE` (2 cạnh tương ứng)
Xét `ΔDAI` và `ΔEAI` có :
`AD = AE` (chứng minh trên)
`AI` chung
`hat{ADI} = hat{AEI} = 90^o`
`-> ΔDAI = ΔEAI` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> hat{DAG} = hat{EAG}` (2 góc tương ứng)
Xét `ΔDAG` và `ΔEAG` có :
`AD = AE` (chứng minh trên)
`AG` chung
`hat{DAG} = hat{EAG}` (chứng minh trên)
`-> ΔDAG = ΔEAG` (cạnh - góc - cạnh)
`-> DG = EG` (2 cạnh tương ứng)
hay `G` là trung điểm của `DE`
`->FG` là đường trung tuyến của `ΔFDE`
Gọi `H` là giao của `EB` và `FG`
Xét `ΔFDE` có :
`FG` là đường trung tuyến
`EB` là đường trung tuyến
`FG` cắt `EB` tại `H`
`-> H` là trọng tâm của `ΔFDE`
`-> DK` là đường trung tuyến
`-> K` là trung điểm của `EF`
