a)
$M\in $ đường trung trực của $AC$
$\to MA=MC$
$\to \Delta MAC$ cân tại $M$
$\to \widehat{MAC}=\widehat{MCA}$
Mà: $\widehat{ABC}=\widehat{MCA}$ ( vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$\to \widehat{ABC}=\widehat{MAC}$
Mà: $\begin{cases}\widehat{ABC}=\widehat{MAB}+\widehat{AMC}\,\,\,\left(\text{ góc ngoài của }\Delta{ AMB}\right)\\\widehat{MAC}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}\,\,\,\left(\text{ hiển nhiên }\right)\end{cases}$
$\to \widehat{AMC}=\widehat{BAC}$
b)
$\widehat{ABC}=\widehat{MAC}\,\,\,\left( cmt \right)$
Mà: $\begin{cases}\widehat{ABC}\text{ và }\widehat{ABM}\text{ là hai góc kề bù }\\\widehat{MAC}\text{ và }\widehat{CAN}\text{ là hai góc kề bù }\end{cases}$
Nên: $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta CAN$, ta có:
$AB=AC$ ( vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$\widehat{ABM}=\widehat{CAN}\,\,\,\left( cmt \right)$
$BM=AN\,\,\,\left( gt \right)$
$\to \Delta ABM=\Delta CAN\,\,\,\left( c.g.c \right)$
$\to AM=CN$ ( hai cạnh tương ứng )
Mà $AM=CM$ ( vì $M\in $ đường trung trực của $AC$ )
Vậy $CM=CN$
c)
Vì $CM=CN\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \Delta CMN$ cân tại $C$
Nếu $CM\bot CN$
Thì $\Delta CMN$ vuông cân tại $C$
Khi đó $\widehat{CMN}=\widehat{CNM}=45{}^\circ $
Mà $\widehat{CMN}=\widehat{BAC}\,\,\,\left( cmt \right)$
Nên $\widehat{BAC}=45{}^\circ $
Vậy $\Delta ABC$ cần có thêm điều kiện là $\widehat{BAC}=45{}^\circ $ thì khi đó $CM\bot CN$
