Bài 27:
$1)$ Xét $ΔDAC$ có: $EA = ED \, (gt)$
$IA = IC\, (gt)$
$\Rightarrow IE$ là đường trung bình
$\Rightarrow IE//CD; \, IE = \dfrac{CD}{2}$
Lập luận tương tự với $ΔBCA$ có $IF$ là đường trung bình
$\Rightarrow IF//AB; \, IF = \dfrac{AB}{2}$
$2)$ Xét $ΔIEF$ luôn có:
$IE + IF \geq EF$
$\Leftrightarrow \dfrac{CD}{2} + \dfrac{AB}{2} \geq EF$
$\Leftrightarrow \dfrac{AB+CD}{2} \geq EF$
Bài toán 5:
Xét $ΔABC$ có:
$AE = EB \, (gt)$
$AD = DC \, (gt)$
$\Rightarrow ED$ là đường trung bình
$\Rightarrow ED//BC; \, ED=\dfrac{BC}{2}$
Xét tứ giác $BEDC$ có:
$IE = IB \, (gt)$
$KD = KC \, (gt)$
$ED//BC \, (cmt)$
$\Rightarrow IK$ là đường trung bình
$\Rightarrow IK//ED//BC;\, IK = \dfrac{ED+BC}{2} = \dfrac{3}{4}BC$
Xét $ΔBED$ có:
$IE = IB \, (gt)$
$IM//ED \, (IK//ED//BC)$
$\Rightarrow IM$ là đường trung bình
$\Rightarrow IM = \dfrac{ED}{2} = \dfrac{BC}{4}$ $(1)$
Xét $ΔCED$ có:
$KD = KC \, (gt)$
$KN//ED \, (IK//ED//BC)$
$\Rightarrow NK$ là đường trunh bình
$\Rightarrow NK = \dfrac{ED}{2} = \dfrac{BC}{4}$ $(2)$
Ta được: $MN = IK - IM - KN = \dfrac{3}{4}BC - \dfrac{BC}{4} - \dfrac{BC}{4} = \dfrac{BC}{4}$ $(3)$
Từ $(1)(2)(3) \Rightarrow IM = MN = NK$
