Giải thích các bước giải:
a.Ta có $BM\perp AC, CN\perp AB\to\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^o$
$\to BCMN$ nội tiếp
b.Ta có $\widehat{HNB}=\widehat{HMC}=90^o,\widehat{NHB}=\widehat{MHC}$
$\to\Delta HNB\sim\Delta HMC(g.g)$
$\to\dfrac{HN}{HM}=\dfrac{HB}{HC}\to HM.HB=HN.HC$
c.Gọi $AE\cap BC=D\to AD\perp BC$
Mà $AF $ là đường kính của (O)$\to \widehat{ACF}=\widehat{ADB}=90^o$
Lại có $\widehat{ABD}=\widehat{AFC}$
$\to\Delta ADB\sim\Delta AFC(g.g)\to\widehat{CAF}=\widehat{BAD}=\widehat{BAE}$
d.Vì AF là đường kính của (O)$\to CF\perp AC, BF\perp AB$
$\to CF//BM, BF//CN\to BHCF$ là hình bình hành
$\to HF\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường
Vì I là trung điểm BC
$\to H,I,F$ thẳng hàng