Đáp án: $P = 3$

Giải thích các bước giải:

Để cho gọn đặt $: a = x + y; b = y + z; c = z + x$ ta có:

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 ⇔ (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})² = 0$ 

$ ⇔ \frac{1}{a²} + \frac{1}{b²} + \frac{1}{c²} + 2(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}) = 0$  

$ ⇔ \frac{1}{a²} + \frac{1}{b²} + \frac{1}{c²} = - 2(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca})$  

$ ⇔ \frac{bc}{a²} + \frac{c}{b} + \frac{b}{c} = - 2(\frac{c}{a} + 1 + \frac{b}{a}) (1)$ ( Nhân 2 vế với $bc$)

Hoán vị vòng quanh :

$ \frac{c}{a} + \frac{ca}{b²} + \frac{a}{c} = - 2(\frac{c}{b} + \frac{a}{b} + 1) (2)$

$ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{ab}{c²} = - 2(1 + \frac{a}{c} + \frac{b}{c}) (3)$

$ (1) + (2) + (3) :$

$ \frac{bc}{a²} +  \frac{ca}{b²} + \frac{ab}{c²} = - 6 - 3(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a} +  \frac{a}{c}) (*)$

Lại có $: \frac{1}{a} = -(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) ⇒ \frac{1}{a²} = \frac{1}{b²} + \frac{1}{c²} + \frac{2}{bc}$

$ ⇔ \frac{bc}{a²} = \frac{c}{b} + \frac{b}{c} + 2 (4)$ ( Nhân 2 vế với $bc$) 

Hoán vị vòng quanh :

$ ⇔ \frac{ca}{b²} = \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + 2 (5)$

$ ⇔ \frac{ab}{c²} = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 2 (6)$

$(4) + (5) + (6) :$

$ \frac{bc}{a²} +  \frac{ca}{b²} + \frac{ab}{c²} = 6 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a} +  \frac{a}{c})$

$ ⇔ 3(\frac{bc}{a²} +  \frac{ca}{b²} + \frac{ab}{c²}) = 18 + 3(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a} +  \frac{a}{c}) (**)$

$(*) + (**) : 4(\frac{bc}{a²} +  \frac{ca}{b²} + \frac{ab}{c²}) = 12 ⇔ \frac{bc}{a²} +  \frac{ca}{b²} + \frac{ab}{c²} = 3$

Hay $ : P = \frac{(y + z)(z + x)}{(x + y)²} +  \frac{(z + x)(x + y)}{(y + z)²} + \frac{(x + y)(y + z)}{(z + x)²} = 3$