a)
Xét $\Delta ABD$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính
$\to \widehat{ADB}=\widehat{BDF}=90{}^\circ $
$FB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$
$\to \widehat{ABF}=90{}^\circ $
Xét $\Delta ABF$ và $\Delta BDF$, ta có:
$\widehat{AFB}$ là góc chung
$\widehat{ABF}=\widehat{BDF}=90{}^\circ $
$\to \Delta ABF\sim \Delta BDF$
b)
$ACDB$ nội tiếp $\left( O \right)$
$\to \widehat{ABD}=\widehat{ECD}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ ( góc ngoài bằng góc đối trong )
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AFB$, ta có:
$\widehat{FAB}$ là góc chung
$\widehat{ADB}=\widehat{ABF}=90{}^\circ $
$\to \Delta ABD\sim \Delta AFB$
$\to \widehat{ABD}=\widehat{AFB}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)$, ta có $\widehat{ECD}=\widehat{AFB}$
Xét tứ giác $CEFD$ ta có:
$\widehat{ECD}=\widehat{AFB}$ ( chứng minh trên )
Nên $CEFD$ là tứ giác nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )
c)
$\Delta ABD\sim \Delta AFB$ ( chứng minh trên )
$\to \dfrac{AB}{AF}=\dfrac{AD}{AB}$
$\to AD.AF=A{{B}^{2}}$
$\to AD.AF={{\left( 2R \right)}^{2}}$
$\to AD.AF=4{{R}^{2}}\,\,\,\left( =const \right)$
Xét $\Delta ACD$ và $\Delta AFE$, ta có:
$\widehat{EAF}$ là góc chung
$\widehat{ACD}=\widehat{AFE}$ ( Vì $CEFD$ là tứ giác nội tiếp, góc ngoài bằng góc đối trong )
$\to \Delta ACD\sim \Delta AFE$
$\to \dfrac{AC}{AF}=\dfrac{AD}{AE}$
$\to AC.AE=AD.AF$
Mà $AD.AF=4{{R}^{2}}$ ( chứng minh trên )
Nên $AC.AE=AD.AF=4{{R}^{2}}\,\,\,\left( =const \right)$
Vậy tích $AC.AE=AD.AF$ luôn luôn không đổi $\left( =\,4{{R}^{2}} \right)$ khi $C,D$ di động trên nữa đường tròn
