Đáp án:
+) $a - b + c = 0 ⇒ B = -1$
+) $( a + b )^{2} + ( b + c )^{2} + ( c - a )^{2} = 0 ⇒ B = 8$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng 1 số hằng đẳng thức đáng nhớ sau vào bài :
+) $( a - b )^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab( a - b )$
+) $( a + b )^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab( a + b )$
+) $( a + b + c )^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ac$
$a^{3} - b^{3} + c^{3} = -3abc$
⇔ $( a - b )^{3} + 3ab( a - b ) + c^{3} + 3abc = 0$
⇔ $( a - b + c )^{3} - 3c( a - b )( a - b + c ) + 3ab( a - b ) + 3abc = 0$
⇔ $( a - b + c )^{3} - 3c( a - b )( a - b + c ) + 3ab( a - b + c ) = 0$
⇔ $( a - b + c )[ ( a - b + c )^{2} - 3c( a - b ) + 3ab ] = 0$
⇔ $( a - b + c )( a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2bc + 2ac - 3ac + 3bc + 3ab ) = 0$
⇔ $( a - b + c )( a^{2} + b^{2} + c^{2} + ab + bc - ac ) = 0$
⇔ $( a - b + c )( 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} + 2ab + 2bc - 2ac ) = 0$
⇔ $( a - b + c )[ ( a^{2} + 2ab + b^{2} ) + ( b^{2} + 2bc + c^{2} ) + ( c^{2} - 2ac + a^{2} ) ] = 0$
⇔ $( a - b + c )[ ( a + b )^{2} + ( b + c )^{2} + ( c - a )^{2} ] = 0$
+) $a - b + c = 0$
⇒ $b - a = c ; c - b = -a ; a + c = b$
Ta có : $B = ( 1 - \frac{a}{b} )( 1 - \frac{b}{c} )( 1 + \frac{c}{a} )$
⇔ $B = \frac{(b-a)(c-b)(a+c)}{abc}$
⇔ $B = \frac{c×(-a)×b}{abc}$
⇔ $B = -1$
+) $( a + b )^{2} + ( b + c )^{2} + ( c - a )^{2} = 0$
Nhận xét : VP luôn ≥ 0 với $∀ a, b , c \ne 0$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $a = -b = c$
Ta có : $B = ( 1 - \frac{a}{b} )( 1 - \frac{b}{c} )( 1 + \frac{c}{a} )$
⇔ $B = ( 1 - \frac{-b}{b} )( 1 - \frac{b}{-b} )( 1 + \frac{a}{a} )$
⇔ $B = ( 1 + 1 )( 1 + 1 )( 1 + 1 )$
⇔ $B = 8$
