a/ Xét \(ABD\) và \(ΔCBE\):
\(\widehat B:chung\)
\(\widehat{BDA}=\widehat{BEC}(=90^\circ)\)
\(→ΔABD\backsim ΔCBE(g-g)\)
b/ \(CE∩AD≡\{H\}\) mà \(CE,AD\) là đường cao \(BA,BC\)
\(→H\) là trực tâm \(ΔBAC\)
\(→BH\) hay \(BF\) là đường cao \(AC\)
Xét \(ΔAFB\) và \(ΔAEC\):
\(\widehat A:chung\)
\(\widehat{AFB}=\widehat{AEC}(=90^\circ)\)
\(→ΔAFB\backsim ΔAEC(g-g)\)
\(→\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)
\(↔\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(→EF//BC\) (Định lý Talet đảo)
c/ \(C\) đối xứng \(B\) qua \(D\)
\(→D\) là trung điểm \(BC\)
\(→AD\) là đường trung tuyến ứng \(BC\)
mà \(AD\) là đường cao ứng \(BC\)
\(→ΔABC\) cân tại \(A\)
\(→AB=AC=b\)
\(AD\) là đường trung tuyến ứng \(BC\) nên \(BC=2DB=2a\)
Xét \(ΔBCF\) và \(ABD\):
\(\widehat C=\widehat B\) (\(ΔABC\) cân tại \(A\) )
\(\widehat{BFC}=\widehat{ADB}(=90^\circ)\)
\(→ΔBCF\backsim ΔABD(g-g)\)
\(→\dfrac{BC}{CF}=\dfrac{AB}{BD}\) hay \(\dfrac{2a}{CF}=\dfrac{b}{a}\)
\(↔CF=\dfrac{2a^2}{b}\)
\(→AF=b-\dfrac{2a^2}{b}=\dfrac{b^2-2a^2}{b}\)
\(EF//BC\)
\(→\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{EF}{BC}\) hay \(\dfrac{\dfrac{b^2-2a^2}{b}}{b}=\dfrac{EF}{2a}\)
\(↔\dfrac{b^2-2a^2}{b^2}=\dfrac{EF}{2a}\)
\(↔EF=\dfrac{2a(b^2-2a^2)}{b^2}=\dfrac{2ab^2-4a^3}{b^2}\)
Vậy \(EF=\dfrac{2ab^2-4a^3}{b^2}\)
