Đáp án+Giải thích các bước giải:
a)
Áp dụng định lý `Py-ta-go` vào tam giác vuông `ABC` ta có:
`BC = sqrt(AB^2 + AC^2)`
`= sqrt( 18^2 + 24^2)`
`= 30cm`
Vì `CD` là đường phân giác `hat(BCA)`
`=> (DB)/(BC) = (DA)/(AC)`
`=> (DB+DA)/(30+24) = (BA)/54`
`= 18/54=1/3`
`(BD)/30=1/3 => BD = 1/3*30=10cm`
`(DA)/24 = 1/3 => DA = 1/3*24 = 8cm`
b)
Xét `ΔHBA` và `ΔABC` có:
`hat B` chung
`hat (AHB) = hat (BAC) = 90^o`
`=>` $ΔHBA \sim ΔABC (g.g)$
c)
Xét `ΔACD` và `ΔHCI` có:
`hat(ACD) = hat(HCI) (text(CD là phân giác))`
`hat(CAD) = hat (CHI) = 90^o`
`=>` $ΔCAD \sim ΔHCI (g.g)$
`=> hat (CDA) = hat (HIC) (text(2 góc tương ứng))`
Mà `hat(CDA) = hat (KDB) (text(đối đỉnh))`
nên `hat(KDB) = hat(HIC)`
Xét `ΔKDC` và `ΔHIC` có:
`hat(KDC) = hat(HIC) (cmt)`
`hat(BKD) = hat(CHI) = 90^o`
`=>` $ΔKDB \sim ΔHIC (g.g)$
`=> (KD)/(HI)=(KB)/(HC)`
`=> KD*HC=KB*HI`
d)
Xét `ΔBHE` và `ΔBKC` có:
`hat(HBE)` chung
`hat (BHE) = hat(BKC) = 90^o`
`=>` $ΔBHE \sim ΔBKC (g.g)$
`=> (BH)/(BK)=(BE)/(BC)`
`=> BH*BC = BK*BE` (1)
Mà $ΔHBA \sim ΔABC (cmt)$
`=> (BH)/(BA) = (BA)/(BC)`
`=> BH* BC = BA^2` (2)
Từ (1) và (2)
`=> AB^2 = BK * BE`
Mà `AB = BF`
nên `BF^2 = BK * BE`
`=> (BF)/(BK)=(BE)/(BF)`
Xét `ΔBFE` và `ΔBKF` có:
`hat(FBE)` chung
`(BF)/(BK)=(BE)/(BF)`
`=>` $ΔBFE \sim ΔBKF (c.g.c)$
`=> hat (BFE) = hat(BKF) (text(2 góc tương ứng))`
mà `hat(BFK) = 90^o`
`=> hat(BFE)=90^o`
`=> BF ⊥ FE` tại `F`
