Đáp án:
`1/{1.\sqrt{2021}}+1/{\sqrt{2}.\sqrt{2020}}+...+1/{\sqrt{2021}.1}>{2021}/{1011}`
Giải thích các bước giải:
Với `a;b>0;a\ne b` ta có:
`\qquad (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>0`
`=>a-2\sqrt{a}.\sqrt{b}+b>0`
`=>a+b>2\sqrt{a}.\sqrt{b}`
`=>2/{a+b}<2/{2.\sqrt{a}.\sqrt{b}}`
`=>2/{a+b}<1/{\sqrt{a}.\sqrt{b}}`
`=>1/{\sqrt{a}.\sqrt{b}}>2/{a+b}\ (a;b>0;a\ne b)` (*)
Áp dụng (*) ta có:
`\quad 1/{1.\sqrt{2021}}+1/{\sqrt{2}.\sqrt{2020}}+...+1/{\sqrt{2021}.1}`
`>2/{1+2021}+2/{2+2020}+...+2/{2021+1}`
`>\underbrace{2/{2022}+2/{2022}+...+2/{2022}}_{2021\ số \ hạng}`
`>\underbrace{1/{1011}+1/{1011}+...+1/{1011}}_{2021\ số \ hạng}={2021}/{1011}`
Vậy: `1/{1.\sqrt{2021}}+1/{\sqrt{2}.\sqrt{2020}}+...+1/{\sqrt{2021}.1}>{2021}/{1011}`
