`a)` Vì $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AC$ (gt)
`=>sđ\stackrel\frown{AM}=sđ\stackrel\frown{CM}`
Ta có:
`\hat{ABM}=1/2 sđ\stackrel\frown{AM}` (góc nội tiếp chắn cung $AM$)
`\hat{IBM}=1/2 sđ\stackrel\frown{CM}` (góc nội tiếp chắn cung $CM$)
`=>\hat{ABM}=\hat{IBM}`
Vì tia $BM$ nằm giữa hai tia $BA$ và $BI$
`=>BM` là phân giác `\hat{ABI}` $(1)$
Ta có: `\hat{AMB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>` $BM\perp AI$ tại $M$ $(2)$
Từ `(1);(2)=>BM` vừa là đường phân giác và đường cao $∆ABI$
`=>∆ABI` cân tại $B$
$\\$
`b)` Ta có:
`\hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>AC`$\perp IB$ tại $C$
`=>\hat{KCI}=90°`
Vì $BM\perp AI$ tại $M$ (c/m trên)
`=>\hat{KMI}=90°`
`=>\hat{KCI}+\hat{KMI}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{KCI};\hat{KMI}` ở vị trí đối nhau
`=>MICK` nội tiếp (đpcm)
$\\$
`c)` Xét $∆NIB$ và $∆NAB$ có:
`\qquad NB` là cạnh chung
`\qquad \hat{NBI}=\hat{NBA}` (do `\hat{IBM}=\hat{ABM}` câu a)
`\qquad IB=AB` (do $∆ABI$ cân tại $B$)
`=>∆NIB=∆NAB` (c-g-c)
`=>\hat{NIB}=\hat{NAB}=90°`
`=>NI`$\perp IB$ $(3)$
Vì $IB=BA$
`=>IB` là bán kính của `(B;BA)` $(4)$
Từ `(3);(4)=>NI` là tiếp tuyến tại $I$ của $(B;BA)$
$\\$
Vì $M$ là điểm chính giữa cung $AC$
`=>sđ\stackrel\frown{AM}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AC}`
Ta có: `\hat{AOM}=sđ\stackrel\frown{AM}`(góc ở tâm chắn cung $AM$)
`\qquad \hat{ABC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{AM}` (góc nội tiếp chắn cung $AC$)
`=>\hat{AOM}=\hat{ABC}`
Mà `\hat{AOM};\hat{ABC}` ở vị trí đồng vị
`=>MO`//$IB$
Vì $NI\perp IB$ (c/m trên)
`=>`$NI\perp MO$ (đpcm)
$\\$
`d)` Xét $∆ABI$ có $K$ là giao điểm hai đường cao $AC$ và $BM$
`=>K` là trực tâm $∆ABI$
`=>IK`$\perp AB$
Ta có: `\hat{IAB}=\hat{IKM}` (cùng phụ `\hat{KIM})`
Tứ giác $BKID$ nội tiếp
`=>\hat{IKM}=\hat{IDB}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)
`=>\hat{IAB}=\hat{IDB}` $(5)$
$\\$
Vì $D\in (B;BA)$
`=>BD=BA=BI`
`=>∆IBD` cân tại $B$
`=>\hat{IBD}=180°-2\hat{IDB}` $(6)$
$∆ABI$ cân tại $B$
`=>\hat{IBA}=180°-2\hat{IAB}` $(7)$
Từ `(5);(6);(7)=>\hat{IBD}=\hat{IBA}`
`=>BI` là phân giác của `\hat{ABD}`
Vì $BA=BD$
`=>∆ABD` cân tại $B$
`=>BI` đồng thời là đường cao $∆ABD$
`=>BI`$\perp AD$
Mà $BI\perp AC$ (câu b)
`=>A;C;D` thẳng hàng (đpcm)
