a/ Xét $ΔABC$ và $ΔHBA$:
$\widehat B:chung$
$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}(=90^\circ)$
$→ΔABC\backsim ΔHBA(g-g)$
b/ $ΔABC\backsim ΔHBA$
$→\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{HB}{AB}$
$↔AB^2=BC.HB\\↔AB=\sqrt{BC.HB}=\sqrt{4.13}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}(cm)$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$
$→AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-(2\sqrt{13})^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}(cm)$
$ΔABC\backsim ΔHBA$
$→\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AH}{AB}\\↔AC.AB=BC.AH\\↔AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{13}.3\sqrt{13}}{13}=6(cm)$
c/ $ΔABC\backsim ΔHBA\\→\widehat{BAH}=\widehat{BCA}$
hay $\widehat{EAH}=\widehat{FCH}$
Ta có: $\widehat{EHA},\widehat{FHC}$ cùng phụ $\widehat{AHF}$
$→\widehat{EHA}=\widehat{FHC}$
Xét $ΔEHA$ và $ΔFHC$:
$\widehat{EHA}=\widehat{FHC}(cmt)$
$\widehat{EAH}=\widehat{FCH}(cmt)$
$→ΔEHA\backsim ΔFHC(g-g)$
$→\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{CF}{CH}$
$↔AE.CH=AH.FC$
d/ Kẻ $HD⊥AB,HG⊥AC$
$HD$ là hình chiếu đường xiên $HE$
$→HE≥HD↔HE^2≥HD^2$
$HG$ là hình chiếu đường xiên $HF$
$→HF≥HG↔HF^2≥HG^2$
Xét tứ giác $ADHG$:
$\widehat A=\widehat D=\widehat G=90^\circ$
$→ADHG$ là hình chữ nhật
$→\widehat{DHG}=90^\circ$
$→ΔDHG$ là tam giác vuông
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔEHF$ vuông tại $H$ và $ΔDHG$ vuông tại $H$
$HE^2+HF^2=EF^2\\HD^2+HG^2=DG^2$
mà $HE^2≥HD^2,HF^2≥HG^2$
$→HE^2+HF^2≥HD^2+HG^2\\↔EF^2≥DG^2\\↔EF≥DG$
$→$ Dấu "=" xảy ra khi $E≡D,F≡G$
Vậy $EF$ có độ dài nhỏ nhất khi $E≡D$
