Ảnh đính kèm.

$\\$

*Chứng minh BĐT `|a| + |b| ≥ |a+b|`

Bình phương cả 2 vế ta được :

`⇔ (|a| + |b|)^2 ≥ (|a+b|)^2`

`⇔ |a|^2 + 2|a| |b| + |b|^2 ≥ (a+b)^2`

`⇔ a^2 + 2 |a| |b| + b^2 ≥ a^2 + 2ab + b^2`

`⇔ 2 |a| |b| ≥ 2ab` (Do triệt tiêu `a^2` và `b^2` ở cả 2 vế)

`⇔ |a| |b| ≥ ab` (Luôn đúng)

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`⇔ ab ≥ 0`

$a$) `P = |x-5| + | 7-x|`

Áp dụng BĐT $|a| + |b| ≥ 0$. Dấu "$=$" $⇔$ $a.b ≥ 0$

$⇒$ `P = |x-5| + | 7-x| ≥ |x-5+7-x| = 2`

Dấu "$=$" xảy ra $⇔$ $(x-5)(7-x) ≥ 0$

$⇔ (x-5)(x-7) ≤ 0$

Mà $x-5 > x-7$ $∀$  $x$ nên :

$\left\{\begin{matrix}x-5≥0\\x-7≤0 \end{matrix}\right.$

$⇒$ $\left\{\begin{matrix}x≥5\\x≤7 \end{matrix}\right.$

  Vậy $P_{min} = 2$ khi $5 ≤ x ≤ 7$.

$b$) $Q = |2x-4| + |2x-6|$

$⇔ Q = |4-2x| + |2x-6|$

Áp dụng BĐT $|a| + |b| ≥ 0$. Dấu "$=$" $⇔$ $a.b ≥ 0$

$⇒$ `Q = |4-2x| + |2x-6| ≥ |4-2x+2x-6| = 2`

Dấu "$=$" xảy ra $⇔$ $(4-2x)(2x-6) ≥ 0$

$⇔ (2x-4)(2x-6) ≤ 0$

$⇔ 2.2(x-2)(x-3) ≤ 0$

$⇔ (x-2)(x-3) ≤ 0$

Mà $x-2 > x-3$ $∀$  $x$ nên :

$\left\{\begin{matrix}x-2≥0\\x-3≤0 \end{matrix}\right.$

$⇒$ $\left\{\begin{matrix}x≥2\\x≤3 \end{matrix}\right.$

  Vậy `Q_{min} = 2` khi $2 ≤ x ≤ 3$.

$c$) `R = | x+5| + |x+6|`

`⇔ R = |-x-5| + |x+6|`

Áp dụng BĐT $|a| + |b| ≥ 0$. Dấu "$=$" $⇔$ $a.b ≥ 0$

$⇒$ `R = |-x-5| + |x+6| ≥ |-x-5+x+6| = 1`

Dấu "$=$" xảy ra $⇔$ $(-x-5)(x+6) ≥ 0$

$⇔ (x+5)(x+6) ≤ 0$

Mà $x+6 > x+5$ $∀$  $x$ nên :

$\left\{\begin{matrix}x+6≥0\\x+5≤0 \end{matrix}\right.$

$⇒$ $\left\{\begin{matrix}x≥-6\\x≤-5 \end{matrix}\right.$

  Vậy `R_{min} =1` khi $-6 ≤ x ≤ -5$.