Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với $ a \neq 0$ tính tổng $:T_{n} = cos2a + cos4a +...+ cos2na (n ∈ N) $
$ ⇔ 2sina.T_{n} = 2cos2a.sina + 2cos4a.sina +...+ 2cos2na.sina$
$ = sin3a - sina + sin5a - sin3a + ...+ sin(2n + 1)a - sin(2n - 1)a$
$ = sin(2n + 1)a - sina ⇔ T_{n} = \dfrac{sin(2n + 1)a}{2sina} - \dfrac{1}{2} (*)$
Xét $PT : cos1009x - cos1008x = 0 ⇔ cos1009x = cos1008x$
@ $ 1009x = 1008x + 2kπ ⇔ x = 2kπ ∉ (0; π) (k ∈ Z)$ (loại)
@ $ 1009x = - 1008x + 2kπ ⇔ 2017x = 2kπ $
$ ⇔ x_{k} = \dfrac{2kπ}{2017} ∈ (0; π) (k = 1,2,3...1008) (TM)$
Áp dụng $(*) $ với $a = \dfrac{π}{2017}$ ta có:
$ T_{1008} = cosx_{1} + cosx_{2} + ...+ cosx_{1008}$
$ = cos\dfrac{2π}{2017} + \dfrac{4π}{2017} + ...+ cos\dfrac{2.1008π}{2017}$
$ = \dfrac{sin(2.1008 + 1)\dfrac{π}{2017}}{2sin\dfrac{π}{2017}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{sinπ}{2sin\dfrac{π}{2017}} - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{2}$
