Đáp án:
S=8
Lời giải:
Ta có
$y' = 3x^2 - 2(2m+1)x + 12m + 5$
Xét phương trình $y' = 0$
$3x^2 - 2(2m+1)x + 12m + 5 = 0$
Có $\Delta' = (2m+1)^2 - 3(12m + 5)$
$= 4m^2 -32m - 14 $
$= 2(2m^2 - 16m - 7)$
Để hàm số đồng biến thì $y' > 0$ với mọi $x \in (2, +\infty)$
TH1: $\Delta' <0$.
Khi đó, do hệ số của $x^2$ trong y' lớn hơn 0 nên để y' > 0 thì $\Delta' < 0$ hay
$2m^2 - 16m - 7 < 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{8-\sqrt{78}}{2} < m < \dfrac{8+\sqrt{78}}{2}$
$\Leftrightarrow 1 \leq m \leq 8$
Vậy có 8 giá trị nguyên dương thỏa mãn.
TH2: $\Delta' > 0$
Khi đó, ta có $m < \dfrac{8-\sqrt{78}}{2}$ hoặc $m > \dfrac{8 + \sqrt{78}}{2}$
và phương trình có 2 nghiệm là
$x = \dfrac{2m+1 \pm \sqrt{4m^2 - 32m - 14}}{3}$
Ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(\dfrac{2m+1 + \sqrt{4m^2 - 32m - 14}}{3}, +\infty)$
Vậy để thỏa mãn đề bài thì $(2, +\infty)$ phải là tập con của khoảng trên, tức là
$\dfrac{2m+1 + \sqrt{4m^2 - 32m - 14}}{3} < 2$
$\Leftrightarrow 2m + 1 + \sqrt{4m^2 - 32m - 14} < 6$
$\Leftrightarrow \sqrt{4m^2 - 32m - 14} < 5-2m$
ĐK: $m \leq \dfrac{5}{2}$. Bình phương 2 vế ta có
$4m^2 - 32m - 14 < 4m^2 - 20m + 25$
$\Leftrightarrow -12m -39 < 0$
$\Leftrightarrow 12m + 39 > 0$
$\Leftrightarrow m > -\dfrac{13}{6}$
Kết hợp với điều kiện ta có $-\dfrac{13}{6} < m < \dfrac{8-\sqrt{78}}{2}$. Vậy ko có gía trị nguyên dương nào thỏa mãn.
Vậy số phần tử của S là 8.
