Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện của \(m\) để đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(y = {x^3} - 3{x^2}\) tại 3 điểm phân biệt.
- Gọi \(A\left( {a;m} \right);\,\,B\left( {b;m} \right);\,\,C\left( {c;m} \right)\,\,\left( {a < b < c} \right)\) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) và đường thẳng \(y = m\). Sử dụng giả thiết và định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba, lập hệ và giải hệ tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).
- Với mỗi cặp \(a,\,\,b,\,\,c\) tìm được, tìm \(m\) tương ứng và tính tổng các giá trị \(m\) tìm được.Giải chi tiết:Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) ta có \(y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Ta có BBT:
Dựa vào BBT, để đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(y = {x^3} - 3{x^2}\) tại 3 điểm phân biệt thì \( - 4 < m < 0\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3{x^2} = m \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - m = 0\,\,\left( * \right)\).
Khi đó gọi \(A\left( {a;m} \right);\,\,B\left( {b;m} \right);\,\,C\left( {c;m} \right)\,\,\left( {a < b < c} \right)\) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) và đường thẳng \(y = m\) thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = b - a\\BC = c - a\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có: \(AB = 2BC \Leftrightarrow b - a = 2\left( {c - b} \right) \Leftrightarrow a - 3b + 2c = 0\).
Lại có \(a,\,\,b,\,\,c\) là 3 nghiệm phân biệt của phương trình (*) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 3\\abc = m\\ab + bc + ca = 0\end{array} \right.\).
Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a - 3b + 2c = 0\\a + b + c = 3\\ab + bc + ca = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {a;b;c} \right) = \left( {1 - \dfrac{5}{{\sqrt 7 }};1 + \dfrac{1}{{\sqrt 7 }};1 + \dfrac{4}{{\sqrt 7 }}} \right)\\\left( {a;b;c} \right) = \left( {1 + \dfrac{5}{{\sqrt 7 }};1 - \dfrac{1}{{\sqrt 7 }};1 - \dfrac{4}{{\sqrt 7 }}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{{98 + 20\sqrt 7 }}{{49}}\\m = - \dfrac{{98 - 20\sqrt 7 }}{{49}}\end{array} \right. \Rightarrow \sum m = - 4\)
Chọn D.
