a) Ta co
$H = \dfrac{2x}{x-1} = \dfrac{2x-2}{x-1} + \dfrac{2}{x-1} = 2 + \dfrac{2}{x-1}$
Để $H$ là số nguyên thì $\dfrac{2}{x-1}$ phải là số nguyên, do đó
$x-1 \in Ư(2) = \{1,2,-1,-2\}$
Suy ra
$x \in \{2,3,0,-1\}$
b)
Ta có
$K = \dfrac{x^2 + x}{x^2 + x +1} = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + x +1} - \dfrac{1}{x^2 + x+1} = 1 - \dfrac{1}{x^2 + x+1}$
Để $K$ đạt GTNN thì $\dfrac{1}{x^2 + x +1}$ đạt GTLN, do đó $x^2 + x +1$ đạt GTNN.
Lại có
$x^2 + x+1 = x^2 + 2.\dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \left( x + \dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}$
Dấu “=” xảy ra khi $x = -\dfrac{1}{2}$
Vậy GTNN của $K$ là $1 - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{1}{3}$ đạt được khi $x = -\dfrac{1}{2}$.
